В треугольнике АВС угол C равен 90°, AC = 10, tg A = \frac{\sqrt{11}}{5}. Найдите АВ.

Решение:

В прямоугольном треугольнике тангенс угла - это отношение противолежащего катета к прилежащему. В нашем случае:

• \[ \text{tg } A = \frac{BC}{AC} \]

Нам дано, что \( \text{tg } A = \frac{\sqrt{11}}{5} \) и \( AC = 10 \). Подставим известные значения:

• \[ \frac{\sqrt{11}}{5} = \frac{BC}{10} \]

Чтобы найти длину катета BC, решим это уравнение:

• \[ BC = 10 \times \frac{\sqrt{11}}{5} = 2\sqrt{11} \]

Теперь, когда мы знаем длины обоих катетов (AC = 10 и BC = \( 2\sqrt{11} \)), мы можем найти гипотенузу AB, используя теорему Пифагора:

• \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
• \[ AB^2 = 10^2 + (2\sqrt{11})^2 \]
• \[ AB^2 = 100 + (4 \times 11) \]
• \[ AB^2 = 100 + 44 \]
• \[ AB^2 = 144 \]

Чтобы найти AB, извлечем квадратный корень:

• \[ AB = \sqrt{144} \]
• \[ AB = 12 \]

Ответ: 12