В треугольнике АВС угол C равен 90°, AB = 32, sin A = √7/4. Найдите длину стороны АС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, мы можем использовать тригонометрические соотношения.

По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

\[ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \]\[ \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{BC}{32} \]\[ BC = 32 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = 8\sqrt{7} \]

Теперь, зная гипотенузу AB и катет BC, мы можем найти катет AC, используя теорему Пифагора:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]\[ AC^2 + (8\sqrt{7})^2 = 32^2 \]\[ AC^2 + (64 \cdot 7) = 1024 \]\[ AC^2 + 448 = 1024 \]\[ AC^2 = 1024 - 448 \]\[ AC^2 = 576 \]\[ AC = \sqrt{576} \]

Чтобы найти корень из 576, заметим, что \( 20^2 = 400 \) и \( 30^2 = 900 \). Число заканчивается на 6, значит, корень может оканчиваться на 4 или 6. Проверим \( 24^2 \): \( 24 \times 24 = 576 \). Итак, \( AC = 24 \).

Ответ: AC = 24.