В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 3, cos A=\frac{\sqrt{5}}{5}. Найдите длину стороны ВС.

Ответ: 6

Дано: Прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°, AC = 3, \(\cos A = \frac{\sqrt{5}}{5}\)

Найти: BC

Решение:

Шаг 1: Найдем гипотенузу AB.

Косинус угла A равен отношению прилежащего катета AC к гипотенузе AB:

\[\cos A = \frac{AC}{AB}\] \[\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{3}{AB}\] \[AB = \frac{3 \cdot 5}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}} = \frac{15\sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{5}\]

Шаг 2: Найдем катет BC, используя теорему Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\] \[BC^2 = AB^2 - AC^2\] \[BC^2 = (3\sqrt{5})^2 - 3^2 = 9 \cdot 5 - 9 = 45 - 9 = 36\] \[BC = \sqrt{36} = 6\]

Ответ: 6