В треугольнике АВС угол АВС равен 120°, АВ = ВС, ВМ медиана. На луче ВМ отметили точку № такую, что ∠BAF = 90°. Найдите FM, если АВ = 18.

Ответ: 9

• В треугольнике ABC, так как AB = BC, то он равнобедренный.
• BM - медиана, следовательно, она также является биссектрисой и высотой.
• Угол ABM равен половине угла ABC, то есть 120° / 2 = 60°.
• В треугольнике ABF угол BAF = 90°, а угол ABF = 60°, следовательно, угол AFB = 180° - 90° - 60° = 30°.
• Так как угол AFB = 30°, то треугольник ABF является прямоугольным треугольником с углом 30°.
• В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, BF = AB / 2 = 18/2 = 9
• Так как BM - медиана, то AM = MC. Также, поскольку треугольник ABC равнобедренный, BM является и высотой, то есть BM перпендикулярна AC.
• Рассмотрим треугольник ABM. В нем угол ABM = 60°, а угол BAM = 90° - угол AFM = 90° - 30° = 60°. Значит, треугольник ABM равносторонний, и BM = AB = 18.
• Поскольку BM = 18, a BF = 9, то FM = BM - BF = 18 - 9 = 9.

Ответ: 9