В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 60°, BC=12√6. Найдите АС.

Решение задачи по геометрии

Дано:

• Треугольник ABC.
• Угол A = 45°.
• Угол B = 60°.
• Сторона BC = 12√6.

Найти: сторону AC.

Решение:

1. Сначала найдем третий угол треугольника, угол C. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.
2. \( \text{Угол } C = 180^\circ - \text{Угол } A - \text{Угол } B \)
3. \( \text{Угол } C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ \)
4. Теперь воспользуемся теоремой синусов, которая связывает стороны треугольника и синусы противолежащих углов:
5. \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)
6. В нашем случае: \( \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \)
7. Подставим известные значения: \( \frac{12\sqrt{6}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ} \)
8. Значения синусов: \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
9. Подставляем значения синусов в уравнение:
10. \( \frac{12\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \)
11. Упростим левую часть:
12. \( 12\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{24\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 24\sqrt{\frac{6}{2}} = 24\sqrt{3} \)
13. Теперь наше уравнение выглядит так:
14. \( 24\sqrt{3} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \)
15. Выразим AC:
16. \( AC = 24\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)
17. \( AC = \frac{24 \cdot (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{24 \cdot 3}{2} = \frac{72}{2} = 36 \)

Ответ: AC = 36.