В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, отрезок АН высота. Угол ВСА равен 31°. Найдите угол ВАН. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Так как треугольник \( ABC \) равнобедренный (\( AB = BC \)), углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA = 31^\circ \).
2. Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). Следовательно, \( \angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle BCA = 180^\circ - 31^\circ - 31^\circ = 118^\circ \).
3. \( AH \) - высота, значит, \( \angle AHB = 90^\circ \).
4. Рассмотрим треугольник \( ABH \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \), поэтому \( \angle BAH = 180^\circ - \angle AHB - \angle ABH \). Угол \( \angle ABH \) равен половине угла \( \angle ABC \), так как высота в равнобедренном треугольнике является и медианой, и биссектрисой, то есть \( \angle ABH = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 118^\circ = 59^\circ \).
5. Тогда \( \angle BAH = 180^\circ - 90^\circ - 59^\circ = 31^\circ \).

Ответ: 59

Проверка за 10 секунд: Убедись, что нашел угол \(\angle BAH\) как угол в прямоугольном треугольнике, используя известные углы.

База: Помни, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.