Контрольные задания > В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ∠АСВ = 75°. На стороне ВС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками В и Ү, АХ = ВХ и ∠ВАХ = ∠YАХ. Найдите длину отрезка АУ, если АХ = 10.
Вопрос:

В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ∠АСВ = 75°. На стороне ВС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками В и Ү, АХ = ВХ и ∠ВАХ = ∠YАХ. Найдите длину отрезка АУ, если АХ = 10.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

  1. Анализ условия:
    • Треугольник АВС — равнобедренный (АВ = ВС).
    • ∠АСВ = 75°. Так как АВ = ВС, то ∠ВАС = ∠ВСА = 75°.
    • Сумма углов в треугольнике: ∠ABC = 180° - (75° + 75°) = 180° - 150° = 30°.
    • Точки Х и У лежат на стороне ВС, причем Х между В и У.
    • АХ = ВХ. Это означает, что треугольник АВХ — равнобедренный.
    • ∠ВАХ = ∠YАХ. Это значит, что АХ — биссектриса угла ∠YАВ.
    • Дано: АХ = 10.
  2. Нахождение углов в треугольнике АВХ:
    • В равнобедренном треугольнике АВХ (АХ = ВХ) углы при основании равны: ∠ВАХ = ∠ABX.
    • Так как ∠ABX — это тот же угол, что и ∠ABC, то ∠ABX = 30°.
    • Следовательно, ∠ВАХ = 30°.
    • Сумма углов в треугольнике АВХ: ∠AXB = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°.
  3. Нахождение угла ∠YАХ:
    • По условию, ∠ВАХ = ∠YАХ.
    • Так как ∠ВАХ = 30°, то ∠YАХ = 30°.
  4. Нахождение угла ∠YАВ:
    • ∠YАВ = ∠ВАХ + ∠YАХ = 30° + 30° = 60°.
  5. Рассмотрение треугольника АУС:
    • У нас есть угол ∠YAC. Мы знаем, что ∠BAC = 75° и ∠BAX = 30°.
    • ∠YAC = ∠BAC - ∠BAX = 75° - 30° = 45°.
    • (Альтернативно, ∠YAC = ∠BAC - ∠YAB + ∠YAX = 75° - 60° + 30° = 45°)
    • Мы знаем ∠ACY = ∠ACB = 75°.
    • В треугольнике АУС: ∠AYC = 180° - ∠YAC - ∠ACY = 180° - 45° - 75° = 180° - 120° = 60°.
  6. Использование теоремы синусов для нахождения AY:
    • В треугольнике АУС, по теореме синусов: $$\frac{AY}{\sin(\angle ACY)} = \frac{AC}{\sin(\angle AYC)}$$.
    • $$\frac{AY}{\sin(75°)} = \frac{AC}{\sin(60°)}$$.
    • Нам нужно найти AC.
  7. Нахождение AC:
    • Рассмотрим треугольник АВС. Мы знаем ∠ABC = 30°, ∠BAC = 75°, ∠BCA = 75°.
    • По теореме синусов для треугольника АВС: $$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$$.
    • $$\frac{AC}{\sin(30°)} = \frac{BC}{\sin(75°)}$$.
    • AC = BC * $$\frac{\sin(30°)}{\sin(75°)}$$.
    • Мы не знаем BC.
  8. Возвращаемся к треугольнику АВХ:
    • Мы знаем АХ = 10 и ∠ВАХ = 30°.
    • По теореме синусов для треугольника АВХ: $$\frac{AX}{\sin(\angle ABX)} = \frac{BX}{\sin(\angle BAX)} = \frac{AB}{\sin(\angle AXB)}$$.
    • $$\frac{10}{\sin(30°)} = \frac{BX}{\sin(30°)} = \frac{AB}{\sin(120°)}$$.
    • Из этого следует, что BX = 10.
    • AB = $$\frac{10 \cdot \sin(120°)}{\sin(30°)} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 10\sqrt{3}$$.
  9. Нахождение BC:
    • Так как треугольник АВС равнобедренный с АВ = ВС, то ВС = $$10\sqrt{3}$$.
  10. Нахождение AC:
    • Теперь мы можем найти AC, используя теорему синусов для АВС: $$\frac{AC}{\sin(30°)} = \frac{BC}{\sin(75°)}$$.
    • AC = $$BC \cdot \frac{\sin(30°)}{\sin(75°)} = 10\sqrt{3} \cdot \frac{1/2}{\sin(75°)}$$.
    • $$\\\sin(75°) = \sin(45°+30°) = \sin(45°)\cos(30°) + \cos(45°)\sin(30°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$.
    • AC = $$10\sqrt{3} \cdot \frac{1/2}{(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})} = 10\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$$.
    • Умножим на сопряженное: AC = $$\frac{20\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = 5\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2}) = 5(\sqrt{18}-\sqrt{6}) = 5(3\sqrt{2}-\sqrt{6})$$.
  11. Нахождение AY:
    • Теперь возвращаемся к теореме синусов для треугольника АУС: $$\frac{AY}{\sin(75°)} = \frac{AC}{\sin(60°)}$$.
    • AY = $$AC \cdot \frac{\sin(75°)}{\sin(60°)} = 5(3\sqrt{2}-\sqrt{6}) \cdot \frac{(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})}{(\frac{\sqrt{3}}{2})}$$.
    • AY = $$5(3\sqrt{2}-\sqrt{6}) \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 5(3\sqrt{2}-\sqrt{6}) \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$$.
    • AY = $$\frac{5}{2\sqrt{3}} (3\sqrt{2}\sqrt{6} + 3\sqrt{2}\sqrt{2} - \sqrt{6}\sqrt{6} - \sqrt{6}\sqrt{2})$$.
    • AY = $$\frac{5}{2\sqrt{3}} (3\sqrt{12} + 6 - 6 - \sqrt{12}) = \frac{5}{2\sqrt{3}} (3 \cdot 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) = \frac{5}{2\sqrt{3}} (6\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) = \frac{5}{2\sqrt{3}} (4\sqrt{3}) = 5 \cdot 2 = 10$$.
  12. Проверка:
    • Если AY = 10, то AY = AX.
    • Это значит, что точка Y также находится на расстоянии 10 от A.
    • В треугольнике AYX, AX = AY = 10, и ∠YAX = 30°.
    • Угол ∠AYX = ∠AYC = 60°.
    • Угол ∠AXB = 120°.
    • ∠AYX = 60°.
    • Угол ∠AYX должен быть равен углу ∠ACY = 75°, если треугольник AYC равнобедренный.
    • Угол ∠AYC = 60°, а ∠ACY = 75°, ∠YAC = 45°.
    • Угол ∠AXB = 120°, тогда угол ∠AXC = 180 - 120 = 60°.
    • В треугольнике AXC: ∠XAC = ∠BAC - ∠BAX = 75 - 30 = 45°. ∠ACX = 75°. ∠AXC = 180 - 45 - 75 = 60°.
    • Это соответствует расчетам.
    • Почему AY = AX?
    • Рассмотрим треугольник АХС. AX = 10, ∠XAC = 45°, ∠ACX = 75°, ∠AXC = 60°.
    • По теореме синусов для АХС: $$\frac{AX}{\sin(75°)} = \frac{AC}{\sin(60°)} = \frac{XC}{\sin(45°)}$$.
    • $$\frac{10}{\sin(75°)} = \frac{AC}{\sin(60°)}$$.
    • AC = $$10 \cdot \frac{\sin(60°)}{\sin(75°)} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}/2}{(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = 5(3\sqrt{2}-\sqrt{6})$$. Это совпадает с предыдущим расчетом AC.
    • Теперь найдем AY, используя треугольник AYC. ∠YAC = 45°, ∠ACY = 75°, ∠AYC = 60°.
    • По теореме синусов для AYC: $$\frac{AY}{\sin(75°)} = \frac{AC}{\sin(60°)}$$.
    • AY = $$AC \cdot \frac{\sin(75°)}{\sin(60°)} = 5(3\sqrt{2}-\sqrt{6}) \cdot \frac{(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})}{(\frac{\sqrt{3}}{2})}$$.
    • AY = $$5(3\sqrt{2}-\sqrt{6}) \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$$.
    • AY = $$\frac{5}{2\sqrt{3}} (3\sqrt{12} + 6 - 6 - \sqrt{12}) = \frac{5}{2\sqrt{3}} (6\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) = \frac{5}{2\sqrt{3}} (4\sqrt{3}) = 10$$.
    • Таким образом, AY = 10.

Ответ: 10

ГДЗ по фото 📸