В треугольнике АВС сторона ВС в два раза больше стороны АВ. На стороне АС выбрана точка К так, что АК = 1 5 АС. Оказалось, что ВК = 2 5 АС. Найдите угол АКВ.

Решение:

Пусть \(AC = x\). Тогда по условию:

• \(BC = 2AB\)
• \(AK = \frac{1}{5}AC = \frac{1}{5}x\)
• \(BK = \frac{2}{5}AC = \frac{2}{5}x\)
• \(KC = AC - AK = x - \frac{1}{5}x = \frac{4}{5}x\)

Примем \(AB = y\), тогда \(BC = 2y\).

По теореме косинусов для треугольника ABK:

\[AB^2 = AK^2 + BK^2 - 2 \cdot AK \cdot BK \cdot \cos{\angle AKB}\] \[y^2 = (\frac{1}{5}x)^2 + (\frac{2}{5}x)^2 - 2 \cdot \frac{1}{5}x \cdot \frac{2}{5}x \cdot \cos{\angle AKB}\] \[y^2 = \frac{1}{25}x^2 + \frac{4}{25}x^2 - \frac{4}{25}x^2 \cdot \cos{\angle AKB}\] \[y^2 = \frac{1}{25}x^2(1 + 4 - 4 \cos{\angle AKB})\]

По теореме косинусов для треугольника BCK:

\[BC^2 = BK^2 + KC^2 - 2 \cdot BK \cdot KC \cdot \cos{\angle BKC}\] \[(2y)^2 = (\frac{2}{5}x)^2 + (\frac{4}{5}x)^2 - 2 \cdot \frac{2}{5}x \cdot \frac{4}{5}x \cdot \cos{\angle BKC}\] \[4y^2 = \frac{4}{25}x^2 + \frac{16}{25}x^2 - \frac{16}{25}x^2 \cdot \cos{\angle BKC}\] \[4y^2 = \frac{4}{25}x^2(1 + 4 - 4 \cos{\angle BKC})\]

Учитывая, что \(\angle AKB + \angle BKC = 180^\circ\), то \(\cos{\angle BKC} = -\cos{\angle AKB}\). Подставим это в уравнение выше:

\[4y^2 = \frac{4}{25}x^2(5 + 4 \cos{\angle AKB})\]

Выразим \(y^2\) из обоих уравнений:

\[y^2 = \frac{1}{25}x^2(5 - 4 \cos{\angle AKB})\] \[y^2 = \frac{1}{25}x^2(5 + 4 \cos{\angle AKB})\]

Приравняем правые части уравнений:

\[\frac{1}{25}x^2(5 - 4 \cos{\angle AKB}) = \frac{1}{25}x^2(5 + 4 \cos{\angle AKB})\] \[5 - 4 \cos{\angle AKB} = 5 + 4 \cos{\angle AKB}\] \[8 \cos{\angle AKB} = 0\] \[\cos{\angle AKB} = 0\]

Следовательно, \(\angle AKB = 90^\circ\)

Ответ: 90

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденный угол соответствует теореме косинусов и условиям задачи.

Доп. профит: Уровень Эксперт. Зная, что косинус угла равен 0, мы сразу можем определить, что угол прямой, что значительно упрощает решение.