В треугольнике АВС сторона АВ = 5,5 см, сторона ВС = 8,5 см, сторона АС = 10 см, а в треугольнике МNK сторона MN = 11 см, сторона NK = 17 см, сторона МК = 20 см. Найди углы треугольника MNK, если ∠A=81°, ∠B = 42°. Ответ: ∠M = °, ∠N = °, ∠K =

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии вместе.

Дано:

• 
  Треугольник ABC: AB = 5,5 см, BC = 8,5 см, AC = 10 см, ∠A = 81°, ∠B = 42°.
  


• 
  Треугольник MNK: MN = 11 см, NK = 17 см, MK = 20 см.
  

Найти: Углы треугольника MNK (∠M, ∠N, ∠K).

Решение:

Сначала посмотрим на треугольник ABC. Мы знаем все его стороны и два угла. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Поэтому третий угол, ∠C, можно найти так:

\[
\angle C = 180° - \angle A - \angle B
\]

\[
\angle C = 180° - 81° - 42° = 57°
\]

Теперь перейдем к треугольнику MNK. Мы знаем все его стороны. Для нахождения углов будем использовать теорему косинусов. Она выглядит так:

\[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)
\]

Где 'a' — сторона, лежащая напротив угла 'α', а 'b' и 'c' — две другие стороны.

Найдем угол ∠M (напротив стороны NK):

\[
NK^2 = MN^2 + MK^2 - 2 \cdot MN \cdot MK \cdot \cos(\angle M)
\]

Подставляем значения:

\[
17^2 = 11^2 + 20^2 - 2 \cdot 11 \cdot 20 \cdot \cos(\angle M)
\]

\[
289 = 121 + 400 - 440 \cdot \cos(\angle M)
\]

\[
289 = 521 - 440 \cdot \cos(\angle M)
\]

\[
440 \cdot \cos(\angle M) = 521 - 289
\]

\[
440 \cdot \cos(\angle M) = 232
\]

\[
\cos(\angle M) = \frac{232}{440} \approx 0.5273
\]

Теперь найдем сам угол ∠M:

\[
\angle M = \arccos(0.5273) \approx 58.17°
\]

Найдем угол ∠N (напротив стороны MK):

\[
MK^2 = MN^2 + NK^2 - 2 \cdot MN \cdot NK \cdot \cos(\angle N)
\]

\[
20^2 = 11^2 + 17^2 - 2 \cdot 11 \cdot 17 \cdot \cos(\angle N)
\]

\[
400 = 121 + 289 - 374 \cdot \cos(\angle N)
\]

\[
400 = 410 - 374 \cdot \cos(\angle N)
\]

\[
374 \cdot \cos(\angle N) = 410 - 400
\]

\[
374 \cdot \cos(\angle N) = 10
\]

\[
\cos(\angle N) = \frac{10}{374} \approx 0.0267
\]

\[
\angle N = \arccos(0.0267) \approx 88.47°
\]

И, наконец, найдем угол ∠K (напротив стороны MN). Можно использовать теорему косинусов, а можно просто вычесть уже найденные углы из 180°.

\[
\angle K = 180° - \angle M - \angle N
\]

\[
\angle K \approx 180° - 58.17° - 88.47° = 33.36°
\]

Проверим с помощью теоремы косинусов для ∠K:

\[
MN^2 = NK^2 + MK^2 - 2 \cdot NK \cdot MK \cdot \cos(\angle K)
\]

\[
11^2 = 17^2 + 20^2 - 2 \cdot 17 \cdot 20 \cdot \cos(\angle K)
\]

\[
121 = 289 + 400 - 680 \cdot \cos(\angle K)
\]

\[
121 = 689 - 680 \cdot \cos(\angle K)
\]

\[
680 \cdot \cos(\angle K) = 689 - 121
\]

\[
680 \cdot \cos(\angle K) = 568
\]

\[
\cos(\angle K) = \frac{568}{680} \approx 0.8353
\]

\[
\angle K = \arccos(0.8353) \approx 33.36°
\]

Получилось одинаково, значит, все верно!

Ответ: ∠M ≈ 58,17°, ∠N ≈ 88,47°, ∠K ≈ 33,36°.