В треугольнике АВС провели медиану СМ. Найдите длину ВС, если АВ = 4√3, СМ = 4 и ∠BMC = 30°. BC =

Рассмотрим треугольник СМВ. По теореме синусов:

$$ \frac{CM}{\sin{\angle{MBC}}} = \frac{BC}{\sin{\angle{BMC}}} $$ $$ \frac{4}{\sin{\angle{MBC}}} = \frac{BC}{\sin{30^{\circ}}} $$

$$\sin{30^{\circ}} = \frac{1}{2}$$, тогда

$$ BC = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sin{\angle{MBC}}} $$

Но нам неизвестен $$\angle{MBC}$$.

Предположим, что медиана СМ проведена к стороне АВ. Тогда АМ = МВ =$$\frac{1}{2} AB = 2\sqrt{3}$$.

Рассмотрим треугольник CMB. По теореме косинусов:

$$CB^2 = CM^2 + MB^2 - 2 \cdot CM \cdot MB \cdot \cos{\angle{CMB}}$$ $$CB^2 = 4^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos{30^{\circ}}$$ $$CB^2 = 16 + 12 - 16\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$CB^2 = 28 - 16 \cdot \frac{3}{2} = 28 - 24 = 4$$ $$CB = \sqrt{4} = 2$$

Ответ: 2