В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС = 25 и ВС = ВМ. Найдите АН.

Решение:

В треугольнике ABC медиана BM проведена к стороне AC. Значит, M — середина AC. Так как AC = 25, то AM = MC = \( \frac{25}{2} = 12.5 \).

В треугольнике BCM, BM = BC (по условию). Это значит, что треугольник BCM равнобедренный.

BH — высота, поэтому \( \angle BHC = 90° \).

В равнобедренном треугольнике BCM, высота BH, проведённая к основанию, является и медианой. Следовательно, H — середина MC.

Поскольку MC = 12.5, то MH = HC = \( \frac{12.5}{2} = 6.25 \).

Нам нужно найти AH. AH = AM + MH.

AH = \( 12.5 + 6.25 = 18.75 \).

Ответ: 18.75.