В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если ∠C= 58° и ВМ = АМ = MC.

Решение:

В треугольнике \( ABC \) проведена медиана \( BM \). По условию \( AM = MC \), что означает \( M \) — середина \( AC \). Так как \( BM = AM = MC \), то точка \( M \) равноудалена от вершин \( A \), \( B \) и \( C \). Это возможно только если \( M \) — центр описанной окружности, а \( AC \) — её диаметр.

Тогда \( \angle ABC = 90^{\circ} \) как вписанный угол, опирающийся на диаметр.

Рассмотрим треугольник \( BMC \): \( BM = MC \) (по условию), значит, \( \triangle BMC \) — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle MBC = \angle MCB = \angle C = 58^{\circ} \).

В треугольнике \( ABC \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \): \( \angle A + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ} \).

Подставим известные значения: \( \angle A + 90^{\circ} + 58^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle A + 148^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle A = 180^{\circ} - 148^{\circ} \).

\( \angle A = 32^{\circ} \).

Ответ: 32°.