В треугольнике АВС проведена медиана ВМ и на стороне АВ взята точка К так, что АК = \(\frac{1}{4}\) АВ. Площадь треугольника АМК равна 9. Найдите площадь треугольника АВС.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Ответ: 72

Краткое пояснение: Площадь треугольника ABC равна 72, исходя из соотношения площадей треугольников AMK и ABC.

Медиана BM делит треугольник ABC на два треугольника равной площади: S(ABM) = S(CBM) = \(\frac{1}{2}\)S(ABC).
Так как AK = \(\frac{1}{4}\)AB, то KB = \(\frac{3}{4}\)AB.
Рассмотрим треугольники АМК и АВМ. У них общая высота, проведенная из вершины M к стороне AB. Следовательно, их площади относятся как длины оснований: \(\frac{S_{AMK}}{S_{ABM}} = \frac{AK}{AB} = \frac{1}{4}\).
Таким образом, S(ABM) = 4 \(\cdot\) S(AMK) = 4 \(\cdot\) 9 = 36.
Так как S(ABM) = \(\frac{1}{2}\)S(ABC), то S(ABC) = 2 \(\cdot\) S(ABM) = 2 \(\cdot\) 36 = 72.

Ответ: 72

Тайм-менеджмент уровня Бог: задача решена за секунды. Свобода!

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке