В треугольнике АВС известно, что АВ = 10, угол В = 60°, угол C = 45°. Найдите АС.

Решение:

Воспользуемся теоремой синусов для треугольника АВС:

\( \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{AC}{\sin 60^{\circ}} = \frac{10}{\sin 45^{\circ}} \)

Известно, что \( \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

\( \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \)

Умножим обе части на \( \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\( AC = \frac{10 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \)

\( AC = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \):

\( AC = \frac{10 \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{10 \sqrt{6}}{2} \)

\( AC = 5 \sqrt{6} \)

Ответ: 5√6