В треугольнике АВС известно, что АС = BC = 10, AB = 12. Найдите высоту АН, проведенную к стороне ВС.

Решение:

Дан равнобедренный треугольник \( \triangle ABC \) с боковыми сторонами \( AC = BC = 10 \) и основанием \( AB = 12 \). Необходимо найти высоту \( AH \), опущенную на сторону \( BC \).

1. Найдём площадь треугольника по формуле Герона.

Сначала вычислим полупериметр \( p \):

\[ p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{12 + 10 + 10}{2} = \frac{32}{2} = 16 \]\[ \text{Площадь} (S) = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{2304} = 48 \]

2. Найдём высоту \( AH \) через площадь.

Площадь треугольника также можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \]

В данном случае основанием является сторона \( BC \), а высотой — \( AH \):

\[ 48 = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \]

Подставим значение \( BC = 10 \):

\[ 48 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot AH \]\[ 48 = 5 \cdot AH \]

Вычислим \( AH \):

\[ AH = \frac{48}{5} = 9.6 \]

Ответ: высота \( AH \) равна 9.6.