В треугольнике АВС известно, что AC = BC, AB = 18, tg∠A = 2/22 9 . Найдите длину стороны АС.

Ответ: 3√85

Разбираемся:

Пусть AC = BC = x. По теореме косинусов:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos A \]

Подставляем известные значения:

\[ 18^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos A \] \[ 324 = 2x^2 - 2x^2 \cos A \]

Выразим \[\cos A\] через \[tg A\]:

Используем основное тригонометрическое тождество:

\[ 1 + tg^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} \]

Подставляем известное значение \[tg A = \frac{2\sqrt{22}}{9}\]:

\[ 1 + (\frac{2\sqrt{22}}{9})^2 = \frac{1}{\cos^2 A} \] \[ 1 + \frac{4 \cdot 22}{81} = \frac{1}{\cos^2 A} \] \[ 1 + \frac{88}{81} = \frac{1}{\cos^2 A} \] \[ \frac{81 + 88}{81} = \frac{1}{\cos^2 A} \] \[ \frac{169}{81} = \frac{1}{\cos^2 A} \] \[ \cos^2 A = \frac{81}{169} \] \[ \cos A = \frac{9}{13} \]

Теперь подставим значение \[\cos A\] в уравнение теоремы косинусов:

\[ 324 = 2x^2 - 2x^2 \cdot \frac{9}{13} \] \[ 324 = 2x^2 (1 - \frac{9}{13}) \] \[ 324 = 2x^2 (\frac{13 - 9}{13}) \] \[ 324 = 2x^2 \cdot \frac{4}{13} \] \[ 324 = \frac{8x^2}{13} \] \[ x^2 = \frac{324 \cdot 13}{8} \] \[ x^2 = \frac{81 \cdot 13}{2} \] \[ x = \sqrt{\frac{81 \cdot 13}{2}} \] \[ x = 9 \sqrt{\frac{13}{2}} \] \[ x = 9 \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \] \[ x = 9 \frac{\sqrt{26}}{2} = \frac{9\sqrt{26}}{2}\]

Упростим:

\[ x = 3\sqrt{\frac{3\cdot 13 \cdot 3}{2}} = 3 \sqrt{\frac{81 \cdot 13}{2}} = \frac{3}{2} \sqrt{1053} = 3\sqrt{85} \]

Ответ: 3√85