148. В треугольнике АВС из- вестно, что ∠C = 90°, ∠A = = 30°. Биссектриса угла В пересекает катет АС в точке М. Найдите ВМ, если AM – CM = 4 см.

Пусть АМ = x, тогда СМ = x – 4.

АС = АМ + СМ = х + х – 4 = 2х – 4.

tg∠A = BC/AC

$$tg30^\circ = \frac{BC}{2x-4}$$

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{2x-4}$$

$$BC = \frac{2x-4}{\sqrt{3}}$$.

Рассмотрим треугольник BCM – прямоугольный, ∠BCM = 90°.

∠MBC = 90° - ∠C = 90° - 30° = 60°

∠MBA = ∠MBC/2 = 60°/2 = 30°.

tg∠MBA = AM/BM

$$tg30^\circ = \frac{x}{BM}$$

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{BM}$$

$$BM = x\sqrt{3}$$.

Рассмотрим треугольник BCM – прямоугольный, ∠BCM = 90°.

tg∠MBC = CM/BC

$$tg30^\circ = \frac{x-4}{\frac{2x-4}{\sqrt{3}}}$$

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(x-4)}{2x-4}$$

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(x-4)}{2(x-2)}$$

$$2(x-2) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}(x-4)$$

$$2x-4 = 3(x-4)$$

$$2x-4 = 3x - 12$$

$$x = 8$$

$$BM = 8\sqrt{3}$$

Ответ: $$8\sqrt{3}$$ см.