2. В треугольнике АВС известно, что ∠C=90°, ∠A=60°. Биссектриса угла А пересекает катет ВС в точке К. Найдите ВК, если АК - СК = 8 см.

1. Шаг 1: Определим углы треугольника AKC: ∠A = 60°, AK - биссектриса, следовательно, ∠CAK = ∠A / 2 = 60° / 2 = 30° ∠C = 90°, следовательно, ∠AKC = 180° - ∠CAK - ∠C = 180° - 30° - 90° = 60° Следовательно, треугольник AKC - прямоугольный, ∠AKC = 60° Найдем угол AKB: ∠AKB = 180° - ∠AKC = 180° - 60° = 120° ∠BAK = 30° ∠B = 180° - ∠C - ∠A = 180° - 90° - 60° = 30° Следовательно, треугольник ABK - равнобедренный, так как углы при основании равны.
2. Шаг 2: Рассмотрим треугольник AKC: АК - СК = 8 см. => АК = СК + 8 tg ∠CAK = СК / АК = СК / (СК + 8) tg 30° = СК / (СК + 8) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) = СК / (СК + 8) \(\sqrt{3}\) (СК + 8) = 3СК \(\sqrt{3}\) СК + 8\(\sqrt{3}\) = 3СК 8\(\sqrt{3}\) = 3СК - \(\sqrt{3}\) СК СК = 8\(\sqrt{3}\) / (3 - \(\sqrt{3}\)) Умножим числитель и знаменатель на (3 + \(\sqrt{3}\)): СК = 8\(\sqrt{3}\) (3 + \(\sqrt{3}\)) / (9 - 3) = 8\(\sqrt{3}\) (3 + \(\sqrt{3}\)) / 6 = 4\(\sqrt{3}\) (3 + \(\sqrt{3}\)) / 3 = (12\(\sqrt{3}\) + 12) / 3 = 4\(\sqrt{3}\) + 4
3. Шаг 3: Найдем АК: АК = СК + 8 = 4\(\sqrt{3}\) + 4 + 8 = 4\(\sqrt{3}\) + 12 По теореме синусов: ВК / sin ∠BAK = AK / sin ∠B sin ∠BAK = sin ∠B = sin 30° = 1/2 ВК = АК Следовательно, ВК = 4\(\sqrt{3}\) + 12 ≈ 18.92 см

Ответ: 4\(\sqrt{3}\) + 12 ≈ 18.92 см