5. В треугольнике АВС известно, что ∠B = 90°, ∠ACB = 60°, отрезок CD — биссектриса треугольника. Найдите катет АВ, если BD = 5 см.

5. Рассмотрим треугольник ABC, в котором угол B равен $$90^\circ$$, угол ACB равен $$60^\circ$$, CD - биссектриса треугольника, BD = 5 см. Найдем катет AB.

В прямоугольном треугольнике ABC угол BAC равен $$180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$. Так как CD - биссектриса, то угол BCD равен углу DCA и равен $$60^\circ : 2 = 30^\circ$$.

Рассмотрим треугольник BCD. Угол BDC равен $$180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$. По теореме синусов:

$$\frac{BD}{\sin{\angle BCD}} = \frac{BC}{\sin{\angle BDC}}$$ $$\frac{5}{\sin{30^\circ}} = \frac{BC}{\sin{60^\circ}}$$ $$BC = \frac{5 \cdot \sin{60^\circ}}{\sin{30^\circ}} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 5\sqrt{3}$$

В прямоугольном треугольнике ABC:

$$\tan{\angle ACB} = \frac{AB}{BC}$$ $$\tan{60^\circ} = \frac{AB}{5\sqrt{3}}$$ $$AB = 5\sqrt{3} \cdot \tan{60^\circ} = 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot 3 = 15$$

Ответ: 15 см