В треугольнике АВС биссектриса СN и высота ВН пересекаются под углом 50°. Найдите угол ВАС, если ∠ABH : ∠CBH = 3 : 1. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим углы:

• Пусть \( \angle CBH = x \).
• Так как \( \angle ABH : \angle CBH = 3 : 1 \), то \( \angle ABH = 3x \).
• \( \angle ABC = \angle ABH + \angle CBH = 3x + x = 4x \).
• \( CN \) — биссектриса, значит, \( \angle ACN = \angle BCN \).
• \( BH \) — высота, значит, \( \angle BHC = 90^{\circ} \).
• В треугольнике \( BHC \): \( \angle BCH + \angle HBC + \angle BHC = 180^{\circ} \).
• \( \angle BCH + x + 90^{\circ} = 180^{\circ} \) \( \Rightarrow \angle BCH = 90^{\circ} - x \).
• Так как \( CN \) — биссектриса \( \angle ACB \), то \( \angle ACB = 2 \angle BCH = 2(90^{\circ} - x) = 180^{\circ} - 2x \).
• В треугольнике \( ABC \): \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \).
• \( \angle BAC + 4x + (180^{\circ} - 2x) = 180^{\circ} \) \( \Rightarrow \angle BAC + 2x = 0 \) — это неверно, так как углы должны быть положительными.

Рассмотрим другую ситуацию, когда точка H лежит вне угла C.

Пусть угол между биссектрисой CN и высотой BH равен 50°. Этот угол может быть образован при пересечении этих отрезков. Рассмотрим угол между прямыми CN и BH. Обозначим точку их пересечения как O. Тогда \( \angle BOC = 50^{\circ} \).

В \( \triangle BHC \): \( \angle C = 90^{\circ} - \angle ABC \).

В \( \triangle ABC \): \( \angle BAC = 90^{\circ} - \angle ABC \).

В \( \triangle BHC \), \( \angle BCH = 90^{\circ} - x \).

В \( \triangle ABH \), \( \angle BAH = 90^{\circ} - \angle ABH = 90^{\circ} - 3x \).

Мы знаем, что \( \angle ABC = 4x \).

В \( \triangle BHC \): \( \angle C = 90 - \angle ABC = 90 - 4x \).

\( CN \) — биссектриса \( \angle C \), так что \( \angle BCN = \frac{1}{2} \angle C = \frac{90 - 4x}{2} = 45 - 2x \).

Угол между биссектрисой и высотой \( \angle OCB = \angle OCH \) равен \( |\angle BCH - \angle BCN| \).

\( \angle BCH = 90^{\circ} - x \).

\( \angle BCN = 45^{\circ} - 2x \).

\( \angle OCB = |(90^{\circ} - x) - (45^{\circ} - 2x)| = |45^{\circ} + x| \).

Так как \( x \) — угол, то \( x > 0 \), следовательно \( |45^{\circ} + x| = 45^{\circ} + x \).

Угол \( 50^{\circ} \) — это угол между прямыми CN и BH. Он равен \( \angle COH \) или \( \angle BOC \).

Рассмотрим \( \triangle BOC \). \( \angle OBC = \angle ABC = 4x \).

\( \angle OCB = 45^{\circ} + x \).

\( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle OBC - \angle OCB = 180^{\circ} - 4x - (45^{\circ} + x) = 135^{\circ} - 5x \).

Если \( \angle BOC = 50^{\circ} \), то \( 135^{\circ} - 5x = 50^{\circ} \) \( \Rightarrow 5x = 85^{\circ} \) \( \Rightarrow x = 17^{\circ} \).

Тогда \( \angle ABC = 4x = 4 \cdot 17^{\circ} = 68^{\circ} \).

\( \angle BAC = 90^{\circ} - \angle ABC = 90^{\circ} - 68^{\circ} = 22^{\circ} \).

Проверим другой вариант угла между прямыми.

Если угол между биссектрисой и высотой равен \( 50^{\circ} \), то \( \angle OCH = 50^{\circ} \) или \( \angle OCH = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ} \).

Угол между биссектрисой и высотой \( \angle CNB \) равен \( \frac{1}{2} | \angle C - \angle B | \) - это не то.

Угол между биссектрисой \( CN \) и высотой \( BH \) равен \( \angle COH = 50^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle BHC \): \( \angle C = 90^{\circ} - \angle ABC \).

\( \angle ABC = \angle ABH + \angle CBH \).

Пусть \( \angle CBH = x \), тогда \( \angle ABH = 3x \). \( \angle ABC = 4x \).

\( \angle C = 90^{\circ} - 4x \).

\( \angle BCN = \frac{1}{2} \angle C = \frac{90^{\circ} - 4x}{2} = 45^{\circ} - 2x \).

\( \angle BCH = 90^{\circ} - x \).

Угол между биссектрисой и высотой \( \angle OCH = | \angle BCH - \angle BCN | = | (90^{\circ} - x) - (45^{\circ} - 2x) | = | 45^{\circ} + x | \).

Если \( 45^{\circ} + x = 50^{\circ} \) \( \Rightarrow x = 5^{\circ} \).

Тогда \( \angle ABC = 4x = 20^{\circ} \).

\( \angle BAC = 90^{\circ} - \angle ABC = 90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ} \).

Проверим. \( \angle C = 90 - 20 = 70^{\circ} \).

\( \angle BCN = 70 / 2 = 35^{\circ} \).

\( \angle CBH = 5^{\circ} \), \( \angle ABH = 15^{\circ} \). \( \angle ABC = 20^{\circ} \).

\( \angle BCH = 90 - 5 = 85^{\circ} \).

\( \angle OCH = | 85 - 35 | = 50^{\circ} \). Это верно.

\( \angle BAC = 70^{\circ} \).

Ответ: 70