Контрольные задания
Вопрос:

В треугольнике АВС биссектриса CN и высота ВН пересекаются под углом 80°. Найдите угол ВАС, если ∠ABH : ∠CBH = 1 : 2. Ответ дайте в градусах.

Фото задания: В треугольнике АВС биссектриса CN и высота ВН пересекаются под углом 80°. Найдите угол ВАС, если ∠ABH : ∠CBH = 1 : 2. Ответ…Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Пусть \( \angle CBH = 2x \) и \( \angle ABH = x \).
  2. Так как \( BH \) — высота, то \( \angle BHA = 90^{\circ} \).
  3. В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABH \): \( \angle BAH = 90^{\circ} - \angle ABH = 90^{\circ} - x \).
  4. В прямоугольном треугольнике \( \triangle CBH \): \( \angle BCH = 90^{\circ} - \angle CBH = 90^{\circ} - 2x \).
  5. \( CN \) — биссектриса, значит, \( \angle ACN = \angle BCN \).
  6. В треугольнике \( \triangle BNC \): \( \angle BNC = 180^{\circ} - \angle CBN - \angle BCN = 180^{\circ} - 2x - \angle BCN \).
  7. Угол между биссектрисой \( CN \) и высотой \( BH \) равен \( 80^{\circ} \). Рассматриваем \( \angle OHC = 80^{\circ} \), где \( O \) — точка пересечения \( CN \) и \( BH \). \( \angle OHB = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \) (развернутый угол), но нас интересует острый угол между прямыми.
  8. Рассмотрим \( \triangle BOK \) (где \( K \) — точка пересечения \( CN \) и \( BH \)). \( \angle BKC = 80^{\circ} \) или \( \angle AKB = 80^{\circ} \).
  9. В \( \triangle AKB \): \( \angle KAB + \angle KBA + \angle AKB = 180^{\circ} \). \( \angle KAB = \angle BAH = 90^{\circ} - x \). \( \angle KBA = \angle ABH = x \). \( \angle AKB = 80^{\circ} \).
  10. \( (90^{\circ} - x) + x + 80^{\circ} = 180^{\circ} \). Это равенство неверно, значит, угол \( 80^{\circ} \) не является внешним углом \( \triangle AKB \).
  11. Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из одной вершины, равен \( \frac{|\angle A - \angle C|}{2} \). Это не наш случай, так как биссектриса и высота проведены из разных вершин.
  12. Рассмотрим \( \triangle OHC \), где \( O \) — точка пересечения \( CN \) и \( BH \). \( \angle HOC = 80^{\circ} \). \( \angle OHC = 90^{\circ} \) (так как \( BH \) — высота). \( \angle OCH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 80^{\circ} = 10^{\circ} \).
  13. \( \angle OCH = \angle BCH = 10^{\circ} \).
  14. В \( \triangle CBH \), \( \angle CBH = 90^{\circ} - \angle BCH = 90^{\circ} - 10^{\circ} = 80^{\circ} \).
  15. По условию \( \angle ABH : \angle CBH = 1 : 2 \).
  16. Тогда \( \angle ABH = \frac{1}{2} \angle CBH = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ} \).
  17. \( \angle ABC = \angle ABH + \angle CBH = 40^{\circ} + 80^{\circ} = 120^{\circ} \).
  18. В \( \triangle ABC \): \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \).
  19. \( \angle BCA = \angle BCN + \angle NCH \). \( \angle BCN = \angle BCH = 10^{\circ} \).
  20. \( \angle BAC + 120^{\circ} + \angle BCA = 180^{\circ} \). \( \angle BAC = 60^{\circ} - \angle BCA \).
  21. Из \( \triangle ABH \), \( \angle BAH = 90^{\circ} - \angle ABH = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \).
  22. \( \angle BAC = \angle BAH = 50^{\circ} \).
  23. Проверим: \( \angle BAC = 50^{\circ} \), \( \angle ABC = 120^{\circ} \). \( \angle BCA = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 120^{\circ} = 10^{\circ} \).
  24. \( CN \) — биссектриса, значит \( \angle BCN = \angle ACN = \frac{1}{2} \angle BCA = \frac{1}{2} \cdot 10^{\circ} = 5^{\circ} \).
  25. Но мы получили \( \angle BCN = 10^{\circ} \). Значит, предположение \( \angle OHC = 80^{\circ} \) было неверным.
  26. Рассмотрим \( \triangle CKD \), где \( K \) — точка пересечения \( CN \) и \( BH \), \( D \) — точка на \( AC \). \( \angle BKC = 80^{\circ} \).
  27. В \( \triangle BKC \): \( \angle KBC + \angle BCK + \angle BKC = 180^{\circ} \). \( \angle KBC = \angle CBH = 2x \). \( \angle BKC = 80^{\circ} \). \( \angle BCK = \angle BCN = \angle ACN \).
  28. В \( \triangle ABK \): \( \angle KAB + \angle ABK + \angle AKB = 180^{\circ} \). \( \angle KAB = \angle BAH = 90^{\circ} - x \). \( \angle ABK = \angle ABH = x \). \( \angle AKB = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).
  29. \( (90^{\circ} - x) + x + 100^{\circ} = 190^{\circ} \) — неверно.
  30. Угол между биссектрисой \( CN \) и высотой \( BH \) равен \( 80^{\circ} \). Рассмотрим \( \triangle KOC \) (где \( K \) — точка пересечения \( CN \) и \( BH \)). \( \angle CKB = 80^{\circ} \).
  31. В \( \triangle CBH \): \( \angle C = 90^{\circ} - 2x \).
  32. \( \angle BCN = \angle ACN \).
  33. В \( \triangle BKC \): \( \angle BKC = 80^{\circ} \). \( \angle KBC = 2x \). \( \angle KCB = \angle BCN \). \( 80^{\circ} + 2x + \angle BCN = 180^{\circ} \) \( \implies \angle BCN = 100^{\circ} - 2x \).
  34. \( CN \) — биссектриса, значит \( \angle ACB = 2 \cdot \angle BCN = 2(100^{\circ} - 2x) = 200^{\circ} - 4x \).
  35. В \( \triangle ABC \): \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \). \( \angle A = \angle BAH = 90^{\circ} - x \). \( \angle B = \angle ABC = \angle ABH + \angle CBH = x + 2x = 3x \). \( \angle C = 200^{\circ} - 4x \).
  36. \( (90^{\circ} - x) + 3x + (200^{\circ} - 4x) = 180^{\circ} \) \( \implies 290^{\circ} - 2x = 180^{\circ} \) \( \implies 2x = 110^{\circ} \) \( \implies x = 55^{\circ} \).
  37. \( \angle BAC = \angle BAH = 90^{\circ} - x = 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ} \).
  38. Проверим: \( x = 55^{\circ} \), \( 2x = 110^{\circ} \). \( \angle BAC = 35^{\circ} \). \( \angle ABC = 110^{\circ} \). \( \angle BCA = 180^{\circ} - 35^{\circ} - 110^{\circ} = 35^{\circ} \).
  39. \( \angle BCN = 100^{\circ} - 2x = 100^{\circ} - 2(55^{\circ}) = 100^{\circ} - 110^{\circ} = -10^{\circ} \) — неверно.
  40. Угол между биссектрисой \( CN \) и высотой \( BH \) равен \( 80^{\circ} \). Пусть \( K \) — точка пересечения \( CN \) и \( BH \).
  41. В \( \triangle ABH \): \( \angle BAH = 90^{\circ} - \angle ABH \).
  42. В \( \triangle CBH \): \( \angle BCH = 90^{\circ} - \angle CBH \).
  43. Рассмотрим \( \triangle CBK \). \( \angle BKC = 80^{\circ} \) (вертикальный угол к углу между \( CN \) и \( BH \) или смежный с ним). \( \angle KBC = \angle CBH \). \( \angle KCB = \angle BCN \).
  44. \( \angle KBC + \angle KCB + \angle BKC = 180^{\circ} \). \( \angle CBH + \angle BCN + 80^{\circ} = 180^{\circ} \). \( \angle CBH + \angle BCN = 100^{\circ} \).
  45. Так как \( CN \) — биссектриса, \( \angle ACN = \angle BCN \). \( \angle ACB = 2 \cdot \angle BCN \).
  46. В \( \triangle ABH \): \( \angle BAH = 90^{\circ} - \angle ABH \).
  47. В \( \triangle CBH \): \( \angle BCH = 90^{\circ} - \angle CBH \).
  48. \( \angle ACB = \angle BCH + \angle HCA \).
  49. \( \angle ABH = x \), \( \angle CBH = 2x \).
  50. \( \angle ABC = 3x \).
  51. \( \angle BAC = 90^{\circ} - x \).
  52. \( \angle ACB = 180^{\circ} - 3x - (90^{\circ} - x) = 90^{\circ} - 2x \).
  53. \( \angle BCH = 90^{\circ} - 2x \).
  54. \( \angle BCN = \angle ACB / 2 = (90^{\circ} - 2x) / 2 = 45^{\circ} - x \).
  55. Подставим в \( \angle CBH + \angle BCN = 100^{\circ} \): \( 2x + (45^{\circ} - x) = 100^{\circ} \) \( \implies x + 45^{\circ} = 100^{\circ} \) \( \implies x = 55^{\circ} \).
  56. \( \angle BAC = 90^{\circ} - x = 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ} \).
  57. Проверим: \( x = 55^{\circ} \). \( \angle ABH = 55^{\circ} \), \( \angle CBH = 110^{\circ} \). \( \angle ABC = 165^{\circ} \). \( \angle BAC = 35^{\circ} \). \( \angle ACB = 180^{\circ} - 165^{\circ} - 35^{\circ} = -20^{\circ} \) — неверно.
  58. Предположим, что \( \angle C < 90^{\circ} \). Тогда \( BH \) находится внутри \( \triangle ABC \).
  59. Пусть \( \angle ABH = \alpha \), \( \angle CBH = 2\alpha \). \( \angle ABC = 3\alpha \).
  60. В \( \triangle ABH \): \( \angle BAH = 90^{\circ} - \alpha \).
  61. В \( \triangle CBH \): \( \angle BCH = 90^{\circ} - 2\alpha \).
  62. \( \angle BAC = \angle BAH = 90^{\circ} - \alpha \).
  63. \( \angle ACB = \angle BCH = 90^{\circ} - 2\alpha \).
  64. \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \) \( \implies (90^{\circ} - \alpha) + 3\alpha + (90^{\circ} - 2\alpha) = 180^{\circ} \) \( \implies 180^{\circ} = 180^{\circ} \). Это равенство верно для любого \( \alpha \) при условии, что \( \angle C < 90^{\circ} \).
  65. Теперь используем условие про угол между биссектрисой и высотой. Пусть \( K \) — точка пересечения \( CN \) и \( BH \). \( \angle BKC = 80^{\circ} \) или \( 100^{\circ} \).
  66. Рассмотрим \( \triangle BKC \). \( \angle KBC = 2\alpha \). \( \angle KCB = \angle BCN \). \( CN \) — биссектриса \( \angle ACB \), значит \( \angle BCN = \frac{\angle ACB}{2} = \frac{90^{\circ} - 2\alpha}{2} = 45^{\circ} - \alpha \).
  67. В \( \triangle BKC \): \( \angle BKC + \angle KBC + \angle KCB = 180^{\circ} \) \( \implies \angle BKC + 2\alpha + (45^{\circ} - \alpha) = 180^{\circ} \) \( \implies \angle BKC + \alpha + 45^{\circ} = 180^{\circ} \) \( \implies \angle BKC = 135^{\circ} - \alpha \).
  68. Значит, \( 135^{\circ} - \alpha = 80^{\circ} \) или \( 135^{\circ} - \alpha = 100^{\circ} \).
  69. Случай 1: \( 135^{\circ} - \alpha = 80^{\circ} \) \( \implies \alpha = 55^{\circ} \).
  70. Тогда \( \angle BAC = 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ} \).
  71. Проверим углы: \( \angle ABH = 55^{\circ} \), \( \angle CBH = 110^{\circ} \). \( \angle ABC = 165^{\circ} \). \( \angle BAH = 35^{\circ} \). \( \angle BCH = 90^{\circ} - 110^{\circ} = -20^{\circ} \) — неверно.
  72. Случай 2: \( 135^{\circ} - \alpha = 100^{\circ} \) \( \implies \alpha = 35^{\circ} \).
  73. Тогда \( \angle BAC = 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ} \).
  74. Проверим углы: \( \angle ABH = 35^{\circ} \), \( \angle CBH = 2 \cdot 35^{\circ} = 70^{\circ} \). \( \angle ABC = 35^{\circ} + 70^{\circ} = 105^{\circ} \).
  75. \( \angle BAH = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ} \).
  76. \( \angle BCH = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ} \).
  77. \( \angle ACB = 180^{\circ} - 105^{\circ} - 55^{\circ} = 20^{\circ} \).
  78. \( \angle BCN = \angle ACB / 2 = 20^{\circ} / 2 = 10^{\circ} \).
  79. \( \angle KCB = 10^{\circ} \).
  80. В \( \triangle BKC \): \( \angle BKC = 180^{\circ} - \angle KBC - \angle KCB = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 10^{\circ} = 100^{\circ} \).
  81. Это соответствует одному из возможных углов между \( CN \) и \( BH \).
  82. Таким образом, \( \angle BAC = 55^{\circ} \).

Ответ: 55.