В треугольнике АВС АВ = ВС. Внешний угол при вершине В равен 138°. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Так как \( AB = BC \), то треугольник \( ABC \) — равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).
2. Внешний угол при вершине \( B \) равен \( 138^{\circ} \). Смежный с ним внутренний угол \( \angle ABC = 180^{\circ} - 138^{\circ} = 42^{\circ} \).
3. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \): \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \).
4. Так как \( \angle BAC = \angle BCA \) и \( \angle ABC = 42^{\circ} \), то \( 2 \cdot \angle BCA + 42^{\circ} = 180^{\circ} \).
5. Решаем уравнение: \( 2 \cdot \angle BCA = 180^{\circ} - 42^{\circ} \), \( 2 \cdot \angle BCA = 138^{\circ} \).
6. \( \angle BCA = \frac{138^{\circ}}{2} = 69^{\circ} \).

Ответ: 69