В треугольнике АВС ∠А = 90°, AB = 8 см, ВС = 17 см. Имеют ли общие точки прямая АВ и окружность с центром С, радиус которой равен 16 см? Если имеют, то сколько?

Решение:

Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А. Известны длины катета AB = 8 см и гипотенузы ВС = 17 см.

Окружность имеет центр в точке С и радиус r = 16 см.

Чтобы определить, имеют ли общие точки прямая АВ и окружность, нужно сравнить расстояние от центра окружности (точки С) до прямой АВ с радиусом окружности.

Расстояние от вершины С до прямой АВ в прямоугольном треугольнике — это длина катета СА.

Найдем длину катета СА по теореме Пифагора:

\( CA^2 + AB^2 = BC^2 \)

\( CA^2 = BC^2 - AB^2 \)

\( CA = \sqrt{BC^2 - AB^2} \)

\( CA = \sqrt{17^2 - 8^2} \)

\( CA = \sqrt{289 - 64} \)

\( CA = \sqrt{225} \)

\( CA = 15 \) см.

Теперь сравним расстояние от центра окружности (точки С) до прямой АВ (длина катета СА) с радиусом окружности (r = 16 см).

\( CA = 15 \) см.

\( r = 16 \) см.

Так как \( CA < r \) (15 см < 16 см), то прямая АВ пересекает окружность. Причем, поскольку расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, прямая пересекает окружность в двух точках.

Ответ: Да, имеют, две точки.