25.8. В треугольнике АВС ∠C = 90°, внешний угол при верши- не В равен 150°, биссектриса АА₁ = 20 см. Найдите А₁С. 25.9. В треугольнике ABC ∠C = 90°, AB = 2BС. Найдите градус- ную меру внешнего угла при вершине В. 25.10. В треугольнике АВС ∠B = 90°, биссектриса СС₁ = 16 см, ВС₁ = 8 см. Найдите градусную меру внешнего угла при вершине А. 25.11. В треугольнике АВС АВ = BC = 20 см, ВК высота, ∠ABC = 60°. Найдите АС и градусную меру угла ВСК. 25.12. В равнобедренном треугольнике АВС ∠C = 30°, AB = BC = = 8 см. Найдите высоту треугольника, опущенную из вер- шины В. 25.13. В треугольнике АВС ∠C = 90°, CD высота, ВС = 2BD. Докажите, что AD = 3DB. 25.14*. В треугольнике АВС ∠B = 90°, BD высота, АВ = 2BD. Докажите, что ЗАС = 4AD.

Ответ: Решения задач ниже.

25.8. В треугольнике АВС ∠C = 90°, внешний угол при вершине В равен 150°, биссектриса АА₁ = 20 см. Найдите А₁С. \begin{itemize}

Внешний угол при вершине B равен 150°, значит, ∠B = 180° - 150° = 30°.

В прямоугольном треугольнике ABC ∠A = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°.

AA₁ - биссектриса угла A, следовательно, ∠BAA₁ = ∠CAA₁ = ∠A / 2 = 60° / 2 = 30°.

Рассмотрим треугольник АА₁В. В этом треугольнике ∠AA₁B = 180° - ∠B - ∠BAA₁ = 180° - 30° - 30° = 120°.

Смежный угол с ∠AA₁B - это ∠AA₁C = 180° - 120° = 60°.

В треугольнике А₁АС ∠AA₁C = 60°, ∠AСA₁ = 90°, следовательно, ∠A₁AC = 180° - 90° - 60° = 30°.

В прямоугольном треугольнике А₁АС, где ∠A₁AC = 30°, катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы. Значит, A₁C = AA₁ / 2 = 20 / 2 = 10 см.

\end{itemize}

Ответ: А₁С = 10 см.

25.9. В треугольнике ABC ∠C = 90°, AB = 2BС. Найдите градусную меру внешнего угла при вершине В. \begin{itemize}

Пусть BC = a, тогда AB = 2a.

В прямоугольном треугольнике ABC: sin(∠A) = BC / AB = a / (2a) = 1/2.

Угол, синус которого равен 1/2, составляет 30°. Следовательно, ∠A = 30°.

Тогда ∠B = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°.

Внешний угол при вершине B равен 180° - ∠B = 180° - 60° = 120°.

\end{itemize}

Ответ: 120°.

25.10. В треугольнике АВС ∠B = 90°, биссектриса СС₁ = 16 см, ВС₁ = 8 см. Найдите градусную меру внешнего угла при вершине А. \begin{itemize}

Рассмотрим треугольник ВСС₁. CC₁ - биссектриса, значит, ∠BCC₁ = ∠ACC₁.

В прямоугольном треугольнике ВСС₁: tg(∠BCC₁) = BC₁ / BC = 8 / BC.

По теореме Пифагора для треугольника ВСС₁: CC₁² = BC₁² + BC². 16² = 8² + BC². BC² = 256 - 64 = 192. BC = √192 = 8√3 см.

tg(∠BCC₁) = 8 / (8√3) = 1 / √3 = √3 / 3. Следовательно, ∠BCC₁ = 30°. Тогда ∠BCA = 2 * 30° = 60°.

В прямоугольном треугольнике ABC: ∠A = 90° - ∠BCA = 90° - 60° = 30°.

Внешний угол при вершине A равен 180° - ∠A = 180° - 30° = 150°.

\end{itemize}

Ответ: 150°.

25.11. В треугольнике АВС АВ = BC = 20 см, ВК – высота, ∠ABC = 60°. Найдите АС и градусную меру угла ВСК. \begin{itemize}

Треугольник ABC - равнобедренный (AB = BC). Высота ВК является также медианой и биссектрисой.

∠ABK = ∠CBK = ∠ABC / 2 = 60° / 2 = 30°.

В прямоугольном треугольнике ABK: AK = AB * cos(∠ABK) = 20 * cos(30°) = 20 * (√3 / 2) = 10√3 см.

AC = 2 * AK = 2 * 10√3 = 20√3 см.

∠BCK = 90° - ∠CBK = 90° - 30° = 60°.

\end{itemize}

Ответ: АС = 20√3 см, ∠BCK = 60°.

25.12. В равнобедренном треугольнике АВС ∠C = 30°, AB = BC = 8 см. Найдите высоту треугольника, опущенную из вершины В. \begin{itemize}

Проведем высоту BD к стороне AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой.

∠A = ∠C = 30°. ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 30° - 30° = 120°.

AD = AB * sin(∠ABD). ∠ABD = ∠B / 2 = 120° / 2 = 60°.

AD = 8 * sin(60°) = 8 * (√3 / 2) = 4√3 см.

BD = AB * cos(∠ABD) = 8 * cos(60°) = 8 * 0.5 = 4 см.

\end{itemize}

Ответ: BD = 4 см.

25.13. В треугольнике АВС ∠C = 90°, CD – высота, ВС = 2BD. Докажите, что AD = 3DB. \begin{itemize}

Пусть BD = x, тогда BC = 2x.

В прямоугольном треугольнике BCD: CD² = BC² - BD² = (2x)² - x² = 4x² - x² = 3x². CD = x√3.

В прямоугольном треугольнике ACD: tg(∠A) = CD / AD.

В прямоугольном треугольнике ABC: tg(∠A) = BC / AC. AC = AD + DC.

CD / AD = BC / AC. CD / AD = 2x / (AD + x). AD = AC - DC.

x√3 / AD = 2x / (AD + x). AD * 2x = x√3 * (AD + x). 2AD = √3 * AD + x√3. AD * (2 - √3) = x√3. AD = x√3 / (2 - √3).

AD = (x√3 * (2 + √3)) / (4 - 3) = x * (2√3 + 3).

AD = 3DB. Значит, x * (2√3 + 3) = 3x. 2√3 + 3 = 3. 2√3 = 0. Неверно.

\end{itemize} К сожалению, доказать, что AD = 3DB не представляется возможным, так как возникает противоречие. Возможно, в условии ошибка. 25.14*. В треугольнике АВС ∠B = 90°, BD – высота, АВ = 2BD. Докажите, что ЗАС = 4AD. \begin{itemize}

Пусть BD = x, тогда AB = 2x.

В прямоугольном треугольнике ABD: AD² = AB² - BD² = (2x)² - x² = 4x² - x² = 3x². AD = x√3.

В прямоугольном треугольнике ABC: AC² = AB² + BC². BC² = AC² - AB².

В прямоугольном треугольнике BCD: BC² = CD² + BD². CD² = BC² - BD².

CD = AC - AD.

BC² = AC² - 4x². BC² = (AC - x√3)² + x². AC² - 4x² = AC² - 2ACx√3 + 3x² + x². -4x² = -2ACx√3 + 4x². 8x² = 2ACx√3.

AC = 4x / √3 = (4x√3) / 3.

3AC = 4AD. 3 * ((4x√3) / 3) = 4 * x√3. 4x√3 = 4x√3.

\end{itemize} Следовательно, ЗАС = 4AD, что и требовалось доказать.

Ответ: Выше приведены решения задач.