В треугольнике ABC внешний угол при вершине B равен 146°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Внешний угол при вершине B равен 146°, значит, \( \angle A + \angle C = 146^{\circ} \).

Внутренний угол при вершине B равен \( 180^{\circ} - 146^{\circ} = 34^{\circ} \).

Сумма углов треугольника равна 180°, то есть \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \).

Подставим значение \( \angle B = 34^{\circ} \): \( \angle A + 34^{\circ} + \angle C = 180^{\circ} \).

Перенесем \( 34^{\circ} \) в правую часть: \( \angle A + \angle C = 180^{\circ} - 34^{\circ} = 146^{\circ} \). Это подтверждает условие.

Для нахождения \( \angle C \) нам не хватает информации. Предполагая, что \( AC = BC \) (что обычно подразумевается при такой постановке задачи, хотя и не указано явно), то треугольник равнобедренный. В этом случае \( \angle A = \angle B = 34^{\circ} \).

Тогда \( \angle C = 180^{\circ} - (34^{\circ} + 34^{\circ}) = 180^{\circ} - 68^{\circ} = 112^{\circ} \).

Однако, если \( \angle A = \angle C \), то \( 2\angle C = 146^{\circ} \), \( \angle C = 73^{\circ} \). Это противоречит тому, что \( \angle B = 34^{\circ} \).

Будем исходить из того, что \( \angle A \) и \( \angle C \) — это углы, сумма которых равна внешнему углу при вершине \( B \).

Если треугольник равнобедренный с \( AC = BC \), то \( \angle A = \angle B = 34^{\circ} \). В этом случае \( \angle C = 180^{\circ} - (34^{\circ} + 34^{\circ}) = 112^{\circ} \). Внешний угол при \( B \) будет \( 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ} \) (что неверно).

Если \( AB = AC \), то \( \angle B = \angle C = 34^{\circ} \). Тогда \( \angle A = 180^{\circ} - (34^{\circ} + 34^{\circ}) = 112^{\circ} \). Внешний угол при \( B \) равен \( 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ} \) (что неверно).

Если \( AB = BC \), то \( \angle A = \angle C \). Так как \( \angle A + \angle C = 146^{\circ} \), то \( 2\angle C = 146^{\circ} \), \( \angle C = 73^{\circ} \).

Ответ: 73