В треугольнике ABC, в котором ∠C = 90°, провели высоту CH. Найди градусную меру ∠CAH, если ∠B = 35°.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \), поэтому \( \angle A + \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).

Из условия известно, что \( \angle B = 35^{\circ} \).

Найдем \( \angle A \): \( \angle A = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ} \).

CH — высота, проведенная к гипотенузе, значит, \( \angle CHA = 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Сумма его углов равна \( 180^{\circ} \), поэтому \( \angle CAH + \angle ACH + \angle CHA = 180^{\circ} \).

\( \angle CAH + \angle ACH + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle CAH + \angle ACH = 90^{\circ} \).

Мы знаем, что \( \angle A = \angle CAH + \angle BAH = 55^{\circ} \).

Из того, что \( \angle A = 55^{\circ} \) и \( \angle C = 90^{\circ} \), а CH - высота, следует, что \( \angle CAH \) является одним из острых углов прямоугольного треугольника ACH.

В прямоугольном треугольнике ABC: \( \angle A = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ACH: \( \angle ACH = 90^{\circ} - \angle CAH \).

Так как \( \angle C = \angle ACH + \angle BCH = 90^{\circ} \), и \( \angle B = 35^{\circ} \), то в прямоугольном треугольнике BCH: \( \angle BCH = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ} \).

Тогда \( \angle CAH = 90^{\circ} - \angle ACH \).

Из \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( \angle B = 35^{\circ} \), в прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ACH, \( \angle CAH = 90^{\circ} - \angle ACH \).

Также, \( \angle CAH = \angle B = 35^{\circ} \) (как углы, дополняющие до 90° в прямоугольных треугольниках ABC и ACH соответственно, с учетом того, что \( \angle BAC \) и \( \angle BCH \) являются накрест лежащими при параллельных AC и BH, но это неверное рассуждение).

Правильное рассуждение: В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle A = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ACH, \( \angle CHA = 90^{\circ} \).

Сумма углов в \( \triangle ACH \) равна \( 180^{\circ} \): \( \angle CAH + \angle ACH + \angle CHA = 180^{\circ} \).

\( \angle CAH + \angle ACH + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle CAH = 90^{\circ} - \angle ACH \).

Мы знаем, что \( \angle C = \angle ACH + \angle BCH = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике BCH: \( \angle BCH = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ} \).

Значит, \( \angle ACH = 90^{\circ} - \angle BCH = 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ} \).

Теперь найдем \( \angle CAH \): \( \angle CAH = 90^{\circ} - \angle ACH = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ} \).

Альтернативный способ: Угол \( \angle CAH \) и угол \( \angle B \) являются острыми углами в прямоугольных треугольниках ACH и ABC соответственно, и они дополняют друг друга до \( 90^{\circ} \) с углами \( \angle ACH \) и \( \angle A \) соответственно. Так как \( \angle C = 90^{\circ} \), то \( \angle A + \angle B = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ACH, \( \angle CHA = 90^{\circ} \), следовательно \( \angle CAH + \angle ACH = 90^{\circ} \).

Из \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( \angle B = 35^{\circ} \), находим \( \angle A = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ} \).

В \( \triangle ACH \), \( \angle CAH \) и \( \angle ACH \) — острые углы. \( \angle C = \angle ACH + \angle BCH \).

В \( \triangle BCH \), \( \angle B = 35^{\circ} \), \( \angle CHB = 90^{\circ} \), значит \( \angle BCH = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ} \).

Тогда \( \angle ACH = \angle C - \angle BCH = 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ} \).

Теперь в \( \triangle ACH \): \( \angle CAH = 90^{\circ} - \angle ACH = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ} \).

Ответ: 55°.