В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 4/7, BC = 35. Найдите AB.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°. По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника:

\[ \text{tg } B = \frac{\text{катет, противолежащий углу } B}{\text{катет, прилежащий к углу } B} = \frac{AC}{BC} \]

Из условия известно, что \( \text{tg } B = \frac{4}{7} \) и \( BC = 35 \). Подставим эти значения в формулу:

\[ \frac{AC}{35} = \frac{4}{7} \]

Чтобы найти длину катета AC, решим это уравнение:

\[ AC = \frac{4}{7} \cdot 35 \]

Сократим 35 на 7:

\[ AC = 4 \cdot 5 \]
\[ AC = 20 \]

Теперь, когда мы знаем длины катетов AC и BC, мы можем найти гипотенузу AB, используя теорему Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим значения AC = 20 и BC = 35:

\[ AB^2 = 20^2 + 35^2 \]
\[ AB^2 = 400 + 1225 \]
\[ AB^2 = 1625 \]

Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину AB:

\[ AB = \sqrt{1625} \]

Разложим 1625 на множители, чтобы упростить корень. 1625 делится на 25:

\[ 1625 = 25 \cdot 65 \]

Таким образом, \( AB = \sqrt{25 \cdot 65} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{65} = 5 \sqrt{65} \).

Ответ: \( 5\sqrt{65} \).