В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = √28, sin ∠A = √7/4. Найдите AC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( C \) нам даны:

• Длина катета \( BC = \sqrt{28} \)
• Синус угла \( A \) равен \( \sin \angle A = \frac{\sqrt{7}}{4} \)

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, \( \sin \angle A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \).

Подставим известные значения:

\[ \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{28}}{AB} \]

Выразим \( AB \) из этого уравнения:

\[ AB = \frac{\sqrt{28}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \sqrt{28} \cdot \frac{4}{\sqrt{7}} \]

Упростим \( \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7} \):

\[ AB = 2\sqrt{7} \cdot \frac{4}{\sqrt{7}} = 2 \cdot 4 = 8 \]

Теперь, когда мы знаем длину гипотенузы \( AB = 8 \) и длину катета \( BC = \sqrt{28} \), мы можем найти длину катета \( AC \) по теореме Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).

\[ AC^2 + (\sqrt{28})^2 = 8^2 \]

Вычислим:

\[ AC^2 + 28 = 64 \]

Вычтем 28 из обеих сторон:

\[ AC^2 = 64 - 28 \]

\( AC^2 = 36 \)

Извлечём квадратный корень:

\[ AC = \sqrt{36} = 6 \]

Ответ: 6.