В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 12, tg A = 4√7 / 3. Найдите AB.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( C \) известны катет \( AC = 12 \) и тангенс угла \( A \): \( \text{tg } A = \frac{4\sqrt{7}}{3} \).

По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:

\( \text{tg } A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC} \)

Подставляем известные значения:

\( \frac{4\sqrt{7}}{3} = \frac{BC}{12} \)

Чтобы найти \( BC \), умножим обе части уравнения на 12:

\( BC = 12 \cdot \frac{4\sqrt{7}}{3} = 4 \cdot 4\sqrt{7} = 16\sqrt{7} \)

Теперь, когда мы знаем оба катета \( AC = 12 \) и \( BC = 16\sqrt{7} \), мы можем найти гипотенузу \( AB \) по теореме Пифагора:

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

\( AB^2 = 12^2 + (16\sqrt{7})^2 \)

\( AB^2 = 144 + 256 \cdot 7 \)

\( AB^2 = 144 + 1792 \)

\( AB^2 = 1936 \)

Извлекаем квадратный корень:

\( AB = \sqrt{1936} \)

\( AB = 44 \)

Ответ: 44