В треугольнике ABC угол C равен 90°, стороны АС и ВС равны. На стороне АВ отметили точку Р так, что угол АСР равен 19°. Найдите градусную меру угла APC.

Обозначим угол PAC как $$x$$. Поскольку AC = BC, то треугольник ABC равнобедренный, и углы при основании AB равны, то есть $$\angle BAC = \angle ABC = \frac{180^{\circ} - 90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$$. Угол CAP равен углу BAC минус угол PAC, то есть $$\angle CAP = 45^{\circ} - x$$. В треугольнике APC сумма углов равна 180 градусам, поэтому: $$\angle APC + \angle PAC + \angle ACP = 180^{\circ}$$ $$\angle APC + (45^{\circ} - x) + 19^{\circ} = 180^{\circ}$$ Но так как углы PAC и CAP в сумме составляют угол BAC, то есть 45 градусов, то угол PAC = x = 45. Тогда, подставим известное значение угла ACP и угла PAC в уравнение суммы углов треугольника APC: $$\angle APC + \angle PAC + \angle ACP = 180^{\circ}$$ $$\angle APC + 45^{\circ} + 19^{\circ} = 180^{\circ}$$ $$\angle APC = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 19^{\circ} = 116^{\circ}$$ Ответ: 116