В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН — высота, АВ = 100, sin A=\frac{4}{5}. Найдите длину отрезка АН.

Ответ: 64

В прямоугольном треугольнике ABC, синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

\[sin A = \frac{BC}{AB}\]

Отсюда можно найти длину катета BC:

\[BC = AB \cdot sin A = 100 \cdot \frac{4}{5} = 80\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В этом треугольнике гипотенуза AC, а катет AH является прилежащим к углу A.

Косинус угла A равен отношению прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB):

\[cos A = \frac{AC}{AB}\]

Чтобы найти косинус угла A, можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:

\[sin^2 A + cos^2 A = 1\]\[cos A = \sqrt{1 - sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\]

Теперь найдем длину гипотенузы AC:

\[AC = AB \cdot cos A = 100 \cdot \frac{3}{5} = 60\]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH, в котором косинус угла A равен отношению прилежащего катета (AH) к гипотенузе (AC):

\[cos A = \frac{AH}{AC}\]

Отсюда можно найти длину катета AH:

\[AH = AC \cdot cos A = 80 \cdot \frac{4}{5} = 64\]

Ответ: 64