В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH - высота, AB = 90, sin отрезка ВН Ответ

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Краткое пояснение: Для нахождения длины отрезка BH воспользуемся определением синуса угла и свойствами прямоугольного треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):
\[\sin A = \frac{BC}{AB}\]
Выразим BC:
\[BC = AB \cdot \sin A = 90 \cdot \frac{2}{3} = 60\]
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. Угол CBH равен углу A, так как углы при основании высоты в прямоугольном треугольнике равны.

Синус угла CBH (или угла A) также равен отношению противолежащего катета (CH) к гипотенузе (BC):
\[\sin A = \frac{CH}{BC}\]
Однако, нам нужно найти BH, а не CH. Вместо синуса используем косинус угла A:
\[\cos A = \frac{BH}{BC}\]
Найдём косинус угла A, зная синус угла A. Используем основное тригонометрическое тождество:
\[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\] \[\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\]
Тогда:
\[\cos A = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\]
Теперь найдём BH:
\[BH = BC \cdot \cos A = 60 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = 20\sqrt{5}\]

Ответ: 20\(\sqrt{5}\)