В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, AB = 180, sin A = \(\frac{1}{6}\). Найдите длину отрезка BH.

Пошаговое решение:

1. Найдем сторону BC:
   \[ sin A = \frac{BC}{AB} \]
   \[ BC = AB \cdot sin A = 180 \cdot \frac{1}{6} = 30 \]
2. Рассмотрим треугольник BHC: Он прямоугольный, так как CH – высота.
3. Используем теорему Пифагора для треугольника BHC:
   \[ BC^2 = BH^2 + CH^2 \]
   Но нам нужно найти BH, а не CH. Поэтому воспользуемся другим подходом.
4. Рассмотрим треугольник ABC:
   \[ cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{30}{180} = \frac{1}{6} \]
   \[ BH = AB - AH = 180 - AH \]
5. Из прямоугольного треугольника ACH:
   \[ \angle A + \angle B = 90° \], так как \[ \angle C = 90° \]
6. Тогда:\[ BH = AB \cdot (1 - cos A) \]
7. Найдем cos A:
   \[ cos A = \sqrt{1 - sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{1}{6})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6} \]
8. Найдем BH:
   \[ AH = AB \cdot cos A = 180 \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = 30\sqrt{35} \]

Ответ: 30√35