В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, AB = 180, \(sin A = \frac{1}{6}\). Найдите длину отрезка AH.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Краткое пояснение: Сначала найдем длину AC, используя синус угла A, а затем используем косинус угла A, чтобы найти длину AH.

В прямоугольном треугольнике ABC, \(sin A = \frac{BC}{AB}\). Следовательно, \(BC = AB \cdot sin A = 180 \cdot \frac{1}{6} = 30\).
Теперь найдем \(AC\), используя теорему Пифагора: \(AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{180^2 - 30^2} = \sqrt{32400 - 900} = \sqrt{31500} = 30\sqrt{35}\).
В прямоугольном треугольнике ACH, \(cos A = \frac{AH}{AC}\). Следовательно, \(AH = AC \cdot cos A\).
Так как \(sin A = \frac{1}{6}\), найдем \(cos A\) из основного тригонометрического тождества: \(cos^2 A + sin^2 A = 1\), \(cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - (\frac{1}{6})^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}\).
Значит, \(cos A = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6}\).
Теперь найдем \(AH = AC \cdot cos A = 30\sqrt{35} \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = 30 \cdot \frac{35}{6} = 5 \cdot 35 = 175\).

Ответ: 175