13. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 3, cosA = \frac{\sqrt{5}}{5}. Найдите длину стороны BC.

Дано: \(angle C = 90^{\circ}\), \(AC = 3\), \(\cos A = \frac{\sqrt{5}}{5}\) Найти: \(BC\) Решение: В прямоугольном треугольнике \(ABC\) косинус угла \(A\) равен отношению прилежащего катета \(AC\) к гипотенузе \(AB\), то есть \[\cos A = \frac{AC}{AB}\] Отсюда выразим \(AB\): \[AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{3}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{3 \cdot 5}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}} = \frac{15 \sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{5}\] Теперь, когда известна гипотенуза \(AB\) и катет \(AC\), можно найти катет \(BC\) по теореме Пифагора: \[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 - 3^2} = \sqrt{9 \cdot 5 - 9} = \sqrt{45 - 9} = \sqrt{36} = 6\] Ответ: \(BC = 6\) **Ответ: 6**