В треугольнике ABC угол A равен 105°. На стороне BC нашлась такая точка M, что AM = MC и BA = BM. Найдите угол B треугольника.

Дано: \(\angle A=105^\circ\), \(AM=MC\), \(BA=BM\), точка \(M\) лежит на отрезке \(BC\).

Найти: \(\angle B\).

Обозначим \(\angle BAM=\alpha\), а \(\angle MAC=105^\circ-\alpha\).

Так как \(BA=BM\), треугольник \(ABM\) равнобедренный, поэтому \(\angle BAM=\angle AMB=\alpha\). Тогда \(\angle ABM=180^\circ-2\alpha\).

Поскольку точки \(B\), \(M\), \(C\) лежат на одной прямой, \(\angle AMC=180^\circ-\alpha\).

Так как \(AM=MC\), треугольник \(AMC\) равнобедренный. Его углы при основании равны:

\[\angle MAC=\angle ACM=105^\circ-\alpha.\]

Сумма углов треугольника \(AMC\):

\[\angle AMC+\angle MAC+\angle ACM=180^\circ.\]

\[180^\circ-\alpha+2(105^\circ-\alpha)=180^\circ.\]

\[30^\circ-3\alpha=0,\qquad \alpha=10^\circ.\]

Следовательно,

\[\angle B=\angle ABM=180^\circ-2\alpha=180^\circ-20^\circ=160^\circ.\]

Ответ: \(160^\circ\).