В треугольнике ABC точка D лежит на стороне AB, AD = DC, а CD — биссектриса угла ACB. Угол A равен 40°. Докажите, что AB > BC.

Так как CD — биссектриса угла ACB, то \(\angle ACD=\angle DCB\).

1. В треугольнике ADC стороны AD и DC равны, поэтому он равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны:

   \(\angle DAC=\angle ACD\).

2. Поскольку D лежит на AB, луч AD совпадает с лучом AB, значит:

   \(\angle DAC=\angle BAC=40^\circ\).

   Отсюда \(\angle ACD=40^\circ\).

3. По свойству биссектрисы:

   \(\angle DCB=40^\circ\).

   Тогда угол C треугольника ABC равен:

   \(\angle ACB=\angle ACD+\angle DCB=40^\circ+40^\circ=80^\circ\).

4. Найдём угол B:

   \(\angle ABC=180^\circ-\angle BAC-\angle ACB=180^\circ-40^\circ-80^\circ=60^\circ\).

5. В треугольнике ABC сторона AB лежит напротив угла \(\angle ACB=80^\circ\), а сторона BC — напротив угла \(\angle BAC=40^\circ\). Так как \(80^\circ>40^\circ\), то сторона, лежащая напротив большего угла, больше:

   \(AB>BC\).

Ответ: \(AB>BC\).