В треугольнике ABC проведена высота BM. Известно, что \(\angle\) ABM = 30^{\(\circ\)}, AM = MC = 3. Найдите длину стороны AB.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AMB \).

1. Из условия задачи известно, что \( BM \) — высота, значит \( \angle AMB = 90^{\circ} \).
2. В треугольнике \( \triangle AMB \) известны: \( \angle ABM = 30^{\circ} \) и \( AM = 3 \).
3. В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: \( \tan(\angle ABM) = \frac{AM}{BM} \).
4. Подставим известные значения: \( \tan(30^{\circ}) = \frac{3}{BM} \).
5. Мы знаем, что \( \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
6. Тогда \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{BM} \).
7. Выразим \( BM \): \( BM = 3 \cdot \sqrt{3} \).
8. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AMB \) еще раз. Используем теорему Пифагора: \( AB^2 = AM^2 + BM^2 \).
9. Подставим значения \( AM = 3 \) и \( BM = 3\sqrt{3} \): \( AB^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + (9 \cdot 3) = 9 + 27 = 36 \).
10. Найдем \( AB \) путем извлечения квадратного корня: \( AB = \sqrt{36} = 6 \).

Ответ: AB = 6.