1. В треугольнике ABC проведена высота BD. Докажите, что: a) △ADB ~ △CDB (верно ли? Проверьте) б) ADB ~△ABC B) △BDC ~ △ABC 2. В треугольнике АВС известно: ∠A = 50°, ∠B = 70°. В треугольнике A₁B₁C₁: ∠A₁= 50 °, ∠C₁= 60°. Подобны ли треугольники? Если да, укажите признак и запишите пропорции сторон.

1. Рассмотрим треугольник ABC, в котором BD - высота.

a) △ADB ~ △CDB (верно ли? Проверьте)

В треугольнике ADB угол ADB = 90 градусов, в треугольнике CDB угол CDB = 90 градусов. Чтобы треугольники ADB и CDB были подобны, необходимо равенство еще хотя бы одной пары углов. Это не следует из условия задачи, значит, утверждение не всегда верно.

б) △ADB ~ △ABC

В треугольниках ADB и ABC угол A общий, угол ADB = углу ABC = 90 градусов. Следовательно, треугольники ADB и ABC подобны по двум углам.

в) △BDC ~ △ABC

В треугольниках BDC и ABC угол C общий, угол BDC = углу ABC = 90 градусов. Следовательно, треугольники BDC и ABC подобны по двум углам.

2. В треугольнике ABC известно: ∠A = 50°, ∠B = 70°. В треугольнике A₁B₁C₁: ∠A₁= 50 °, ∠C₁= 60°. Подобны ли треугольники?

Сумма углов треугольника равна 180 градусов. Найдем угол C в треугольнике ABC: ∠C = 180 - ∠A - ∠B = 180 - 50 - 70 = 60 градусов.

Найдем угол B₁ в треугольнике A₁B₁C₁: ∠B₁ = 180 - ∠A₁ - ∠C₁ = 180 - 50 - 60 = 70 градусов.

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ угол A = углу A₁ = 50 градусов, угол C = углу C₁ = 60 градусов. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны по двум углам.

Запишем пропорции сторон:

$$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $$

Ответ: 1. а) не всегда верно; б) подобны по двум углам; в) подобны по двум углам; 2. треугольники подобны по двум углам, $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $$