В треугольнике ABC проведена окружность с центром H, касающаяся сторон AB, BC и AC в точках P, Q и R соответственно. Докажите, что AP=AR, BP=BQ, CQ=CR. Найдите периметр треугольника ABC, если AP=3, BQ=4, CR=5.

Решение:

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники APH и ARH. AH - общая сторона, HP = HR (радиусы, проведённые в точки касания), ∠ APH = ∠ ARH = 90° (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). Следовательно, треугольники APH и ARH равны по гипотенузе и катету. Отсюда AP = AR.
2. Аналогично доказывается равенство треугольников BPH и BQH, а также CQH и CRH.
3. Из равенства треугольников следует: BP = BQ, CQ = CR.

Нахождение периметра:

Периметр треугольника ABC равен сумме длин всех его сторон: P = AB + BC + AC.

Мы знаем, что:

• AB = AP + PB
• BC = BQ + QC
• AC = AR + RC

Поскольку AP = AR, BP = BQ, CQ = CR, мы можем записать:

• AB = AP + BQ
• BC = BQ + CR
• AC = AP + CR

Суммируем длины сторон:

P = (AP + BQ) + (BQ + CR) + (AP + CR)

P = 2AP + 2BQ + 2CR

P = 2(AP + BQ + CR)

Подставим известные значения:

AP = 3, BQ = 4, CR = 5.

P = 2(3 + 4 + 5)

P = 2(12)

P = 24

Ответ: Периметр треугольника ABC равен 24.