В треугольнике ABC проведена медиана CD, которая отсекает от него равносторонний треугольник ACD. Найдите угол ABC.

Решение:

По условию, \( \triangle ACD \) — равносторонний. Это значит, что все его стороны равны: \( AC = CD = AD \), и все его углы равны \( 60° \): \( \angle A = \angle ACD = \angle ADC = 60° \).

Так как \( CD \) — медиана, то точка D делит сторону AB пополам: \( AD = DB \).

Поскольку \( AD = CD \) (из равностороннего \( \triangle ACD \)), то \( DB = CD \).

Рассмотрим \( \triangle CDB \). Так как \( DB = CD \), то \( \triangle CDB \) — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Основанием является сторона CB, а углы при основании — \( \angle CBD \) и \( \angle BCD \).

Угол \( \angle ADC \) — внешний угол для \( \triangle CDB \). Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.

\( \angle ADC = \angle CBD + \angle BCD \)

Мы знаем, что \( \angle ADC = 60° \) (из равностороннего \( \triangle ACD \)).

\( 60° = \angle CBD + \angle BCD \).

Так как \( \triangle CDB \) — равнобедренный с \( DB = CD \), то \( \angle CBD = \angle BCD \). Обозначим этот угол как \( x \).

\( 60° = x + x \)

\( 60° = 2x \)

\( x = \frac{60°}{2} = 30° \).

Значит, \( \angle CBD = 30° \). Угол \( \angle ABC \) — это тот же угол \( \angle CBD \).

Ответ: \( \angle ABC = 30° \).