В треугольнике ABC медиана CM равна половине стороны AB. В треугольниках AMC и BMC проведены биссектрисы MK и ML соответственно. Найти периметр треугольника ABC, если периметр треугольника KML равен 17.

Обозначим половину стороны AB через a. Тогда AM = BM = a, а по условию CM = AB/2 = a.

1. В треугольниках AMC и BMC все три стороны равны a, поэтому оба треугольника равносторонние. Следовательно, AC = BC = a.

2. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой. Поэтому MK = ML = \(\frac{\sqrt{3}}{2}a\).

3. Точки K и L — середины AC и BC. Значит, KL — средняя линия треугольника ABC, и KL = AB/2 = a.

4. По периметру треугольника KML:

\(a + \frac{\sqrt{3}}{2}a + \frac{\sqrt{3}}{2}a = 17\), откуда \(a(1+\sqrt{3})=17\) и \(a=\frac{17}{1+\sqrt{3}}\).

Периметр ABC равен \(AB+AC+BC=2a+a+a=4a\). Поэтому \(P_{ABC}=\frac{68}{1+\sqrt{3}}=34(\sqrt{3}-1)\).

Ответ: \(34(\sqrt{3}-1)\).