В треугольнике ABC известно, что AC=BC, AB=20, \(tg A = \frac{\sqrt{5}}{2}\). Найдите длину стороны AC.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), углы при основании равны, то есть \(\angle A = \angle B\). Проведем высоту CH к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому AH = HB = \(\frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Известно, что \(tg A = \frac{CH}{AH}\), следовательно, \(CH = AH \cdot tg A = 10 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = 5\sqrt{5}\).

Теперь, используя теорему Пифагора для треугольника ACH, найдем AC:

• \(AC^2 = AH^2 + CH^2 = 10^2 + (5\sqrt{5})^2 = 100 + 25 \cdot 5 = 100 + 125 = 225\)
• \(AC = \sqrt{225} = 15\)

Ответ: 15