В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB=20, \(tg A = \frac{\sqrt{5}}{2}\). Найдите длину стороны AC.

Пусть \(AC = BC = x\). Проведем высоту \(CH\) к основанию \(AB\). Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, то высота является и медианой, следовательно, \(AH = \frac{1}{2}AB = 10\).

Тогда \(tg A = \frac{CH}{AH}\), отсюда \(CH = AH \cdot tg A = 10 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = 5\sqrt{5}\).

По теореме Пифагора для \(\triangle AHC\):

\[AC^2 = AH^2 + CH^2\] \[x^2 = 10^2 + (5\sqrt{5})^2\] \[x^2 = 100 + 25 \cdot 5\] \[x^2 = 100 + 125\] \[x^2 = 225\] \[x = \sqrt{225} = 15\]

Ответ: 15