5. В треугольнике ABC известно, что ∠C=90°, ∠A=60°. На катете BC отметили точку K такую, что ∠AKC=60°. Найдите отрезок CK, если BK=12 см.

В треугольнике ABC, $$\angle C = 90^\circ$$, $$\angle A = 60^\circ$$, следовательно, $$\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$. Так как $$\angle AKC = 60^\circ$$, то $$\angle AKB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$. Рассмотрим треугольник ABK. В нем $$\angle B = 30^\circ$$, $$\angle AKB = 120^\circ$$, следовательно, $$\angle BAK = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ$$. Таким образом, треугольник ABK - равнобедренный с $$BK = AK = 12$$ см. Теперь рассмотрим треугольник AKC. В нем $$\angle C = 90^\circ$$, $$\angle AKC = 60^\circ$$, следовательно, $$\angle KAC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$. Так как катет, лежащий напротив угла в $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы, то $$CK = \frac{1}{2} AK = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$$ см. Ответ: CK = 6 см