В треугольнике ABC ∠A = ∠C = 45°. а) Установите вид треугольника и постройте его на стороне AB. б) Докажите, что медиана BD делит треугольник ABC на два равных треугольника. в) Докажите, что прямая BK, перпендикулярная медиане BD треугольника ABC, не имеет общих точек с прямой AC. г) Докажите, что прямая BK, перпендикулярная медиане BD треугольника ABC, содержит биссектрису одного из внешних углов этого треугольника. д)* Возможно ли равенство AE = EC, если точка E не лежит на прямой, содержащей медиану BD треугольника ABC?

Решение:

а) Вид треугольника:

В треугольнике ABC \( \angle A = \angle C = 45^{\circ} \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \), поэтому \( \angle B = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).

Так как \( \angle B = 90^{\circ} \), треугольник ABC — прямоугольный.

Так как \( \angle A = \angle C \), треугольник ABC — равнобедренный.

Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный и равнобедренный.

Построение:

1. Начертите прямой угол с вершиной в точке B. На сторонах угла отметьте точки A и C так, чтобы \( AB = BC \).

2. Соедините точки A и C. Получится прямоугольный равнобедренный треугольник ABC.

3. Проверьте, что \( \angle A = \angle C = 45^{\circ} \).

б) Доказательство, что медиана BD делит треугольник ABC на два равных треугольника:

В равнобедренном треугольнике ABC ( \( AB = BC \)) медиана BD, проведённая к основанию AC, является также высотой и биссектрисой.

Рассмотрим треугольники ABD и CBD:

• \( AB = BC \) (по условию, так как треугольник равнобедренный).
• \( BD \) — общая сторона.
• \( \angle ABD = \angle CBD \) (так как BD — биссектриса).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle ABD = \triangle CBD \).

в) Доказательство, что прямая BK, перпендикулярная медиане BD, не имеет общих точек с прямой AC:

В прямоугольном равнобедренном треугольнике ABC медиана BD является высотой, то есть \( BD \perp AC \). Прямая BK также перпендикулярна BD. Это означает, что прямая BK параллельна прямой AC.

Параллельные прямые не пересекаются, следовательно, прямая BK не имеет общих точек с прямой AC.

г) Доказательство, что прямая BK, перпендикулярная медиане BD, содержит биссектрису одного из внешних углов этого треугольника:

Из пункта (б) мы знаем, что \( \triangle ABD = \triangle CBD \). Следовательно, \( \angle BDA = \angle BDC = 90^{\circ} \) (так как BD — высота).

Внешний угол при вершине B равен \( 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).

Так как \( BK \perp BD \) и \( BD \perp AC \), то \( BK \parallel AC \).

Внешний угол при вершине B состоит из двух углов. Один из них — это угол между продолжением стороны AB и стороной BC, равный \( 90^{\circ} \). Другой внешний угол — это угол между продолжением стороны CB и стороной AB, также равный \( 90^{\circ} \).

Так как \( BK \parallel AC \), то прямая BK является биссектрисой внешнего угла при вершине B.

д) Возможно ли равенство AE = EC, если точка E не лежит на прямой, содержащей медиану BD треугольника ABC?

Равенство \( AE = EC \) означает, что точка E является серединой отрезка AC. Если точка E является серединой отрезка AC, то отрезок BE является медианой треугольника ABC.

В равнобедренном треугольнике ABC медиана BE, проведённая к основанию AC, совпадает с высотой и биссектрисой.

Если точка E не лежит на прямой BD (которая совпадает с медианой BE), то BE не является медианой. Следовательно, E не является серединой AC, и \( AE \neq EC \).

Ответ:

а) Треугольник ABC — прямоугольный и равнобедренный.

б) Доказано, что \( \triangle ABD = \triangle CBD \) по первому признаку равенства треугольников.

в) Доказано, что \( BK \parallel AC \), значит, они не пересекаются.

г) Доказано, что BK является биссектрисой внешнего угла при вершине B.

д) Нет, равенство \( AE = EC \) возможно только в том случае, если точка E лежит на прямой BD (является серединой AC).