В треугольнике ABC ∠A = 90°, AB = 5 см, BC = 13 см. Найдите радиус окружности с центром С, если она имеет с прямой AB только одну общую точку.

Решение:

В треугольнике ABC, где \( \angle A = 90^{\circ} \), AB = 5 см, BC = 13 см, мы можем найти длину катета AC по теореме Пифагора: \( AC^2 = BC^2 - AB^2 \) \( AC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \) \( AC = \sqrt{144} = 12 \) см.

Окружность с центром в точке C и радиусом r имеет с прямой AB только одну общую точку. Это возможно в трех ситуациях:

1. Расстояние от центра окружности C до прямой AB меньше радиуса окружности: \( AC < r \).
2. Расстояние от центра окружности C до прямой AB равно радиусу окружности: \( AC = r \).
3. Расстояние от центра окружности C до прямой AB больше радиуса окружности: \( AC > r \).

В случае а) (когда расстояние от центра до прямой меньше радиуса) прямая и окружность имеют две общие точки. Это противоречит условию задачи.

В случае б) (когда расстояние от центра до прямой равно радиусу) прямая и окружность имеют одну общую точку. Это соответствует условию задачи.

В случае в) (когда расстояние от центра до прямой больше радиуса) прямая и окружность не имеют общих точек. Это также противоречит условию задачи.

Следовательно, радиус r окружности должен быть равен расстоянию от точки C до прямой AB, то есть равен катету AC.

Итак, \( r = AC = 12 \) см.

Ответ: 12 см.