В треугольнике ABC ∠A = 45°, высота BO делит сторону AC на отрезки AO = 4, CO = 8. Найдите длину медианы, проведённой из вершины C. Варианты: 2√26; 6√28; 3√26; 4√28.

Так как BO ⟂ AC, треугольник AOB прямоугольный. В нём ∠A = 45°, поэтому он равнобедренный и BO = AO = 4.

AC = AO + CO = 4 + 8 = 12. Обозначим через M середину AB. Тогда AM = MB = AB/2.

По теореме Пифагора: AB = √(AO² + BO²) = √(4² + 4²) = 4√2, поэтому AM = 2√2.

Поскольку AC = 12, расстояние от A до середины AC равно 6. Для медианы CM удобнее взять координаты: A(0; 0), C(12; 0), B(4; 4). Тогда M — середина AB, то есть M(2; 2).

CM = √((12 − 2)² + (0 − 2)²) = √104 = 2√26.

Ответ: 2√26 (первый вариант).