В треугольнике А ВС угол А ВС равен 120°, АВ = ВС, ВМ – медиана. На луче ВМ отметили точку F такую, что ∠BAF = 90°. Найдите А В, если FM = 63.

Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = BC) и BM - медиана, проведенная к основанию AC, то BM является также биссектрисой и высотой.

Угол ∠ABM равен половине угла ∠ABC, то есть ∠ABM = 120° / 2 = 60°.

Рассмотрим треугольник ABF. Из условия ∠BAF = 90°. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то ∠AFB = 180° - ∠BAF - ∠ABF = 180° - 90° - 60° = 30°.

В прямоугольном треугольнике ABF катет AB, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы AF.

То есть, AF = 2AB.

Заметим, что AM = MC, так как BM - медиана. Пусть AB = x, тогда BC = x. Так как BM - биссектриса, то углы ABM и CBM равны 60 градусов. Треугольник ABM равен треугольнику CBM по двум сторонам и углу между ними. Тогда AM = CM.

Рассмотрим треугольник ABM. В нём ∠ABM = 60° и ∠AMB = 90°. Значит, ∠BAM = 30°. Тогда AM = AB \(\cdot\) cos(30°) = \(\frac{x \sqrt{3}}{2}\).

Рассмотрим треугольник BFM. В нём ∠FBM = 60°. Так как BM - медиана, а ∠BAF = 90°, то точка M - середина AF. Значит, AF = 2FM = 2 \(\cdot\) 63 = 126.

Так как AF = 2AB, то AB = AF / 2 = 126 / 3 = 42.