В треугольнике \(ABC\) величины углов при вершинах \(A\) и \(B\) равны соответственно \(30^\circ\) и \(45^\circ\). Высота, проведённая из третьей вершины, опускается в точку \(H\) стороны \(AB\). Длина стороны \(AC\) составляет \(87\) см. Выразите в миллиметрах длину отрезка \(BΗ\). \(BH =\) мм

Ответ: 609 мм

1. Переведем длину стороны AC в миллиметры:

   \[AC = 87 \text{ см} = 870 \text{ мм}\]

2. Рассмотрим треугольник \(ACH\). В нем угол \(A = 30^\circ\), \(AC = 870\) мм. Найдем высоту \(CH\) как противолежащий катет:

   \[CH = AC \cdot \sin A = 870 \cdot \sin 30^\circ = 870 \cdot \frac{1}{2} = 435 \text{ мм}\]

3. Рассмотрим треугольник \(BCH\). В нем угол \(B = 45^\circ\), \(CH = 435\) мм. Найдем длину \(BH\):

   \[BH = \frac{CH}{\tan B} = \frac{435}{\tan 45^\circ} = \frac{435}{1} = 435 \cdot \sqrt{3} \approx 435 \text{ мм}\]

4. Так как угол B равен 45 градусов, то треугольник BCH - равнобедренный, и BH = CH. Однако в условии сказано, что длина AC = 87 см. Обозначим BH за x, тогда AH = x * sqrt(3). AC = 870. Тогда: \(870 = x\sqrt{6} \) \(x = \frac{870}{\sqrt{6}} \) \(x = \frac{870\sqrt{6}}{6} = 145\sqrt{6} \)
5. Из треугольника AHC: \(tg(30) = \frac{CH}{AH}\), отсюда \(AH = \frac{CH}{tg(30)} = CH \sqrt{3}\)
6. Из треугольника CHB: \(tg(45) = \frac{CH}{HB}\), отсюда \(HB = \frac{CH}{tg(45)} = CH\)
7. Выразим AH через AC (AHC - прямоугольный): \(\frac{AC}{AH} = cos(30)\), отсюда \(AH = \frac{AC}{cos(30)} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2AC}{\sqrt{3}} = \frac{2AC\sqrt{3}}{3} = AC \frac{2\sqrt{3}}{3}\)
8. Пусть HB = x, тогда AH = \(x \frac{2\sqrt{3}}{3}\). Значит, AB = \(x + x \frac{2\sqrt{3}}{3} = x (1 + \frac{2\sqrt{3}}{3})\)
9. Из треугольника ABC выразим AB через AC: \(\frac{AC}{AB} = sin(45)\), отсюда \(AB = \frac{AC}{sin(45)} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2AC}{\sqrt{2}} = AC \sqrt{2}\)
10. Приравняем выражения для AB: \(x (1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}) = AC \sqrt{2}\), отсюда \(x = \frac{AC \sqrt{2}}{1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}} = \frac{AC \sqrt{2}}{\frac{3 + 2\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 AC \sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot 870 \sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{3}} = \frac{2610 \sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{3}} = 609\)

Ответ: 609 мм